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(2006•襄阳)在如图所示的直角坐标系中,四边形OABC是边长为2的正方形,D...

(2006•襄阳)在如图所示的直角坐标系中,四边形OABC是边长为2的正方形,D为x轴上一点,连接BD交y轴于E点,且tan∠CBE=manfen5.com 满分网.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过A、C、D三点,顶点为F.
(1)求D点坐标;
(2)求抛物线的解析式及顶点F的坐标;
(3)在直线DB上是否存在点P,使四边形PFDO为梯形?若存在,求出其坐标;若不存在,请说明理由.

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(1)要求D点坐标需要知道OD的长,在直角三角形ABD中,已知了AB的长,而根据BC∥DA可得出∠CBE=∠ADB,即可得出∠ADB的正切值,由此可求出AD,由于OA是正方形的边长,因此可求出OD的长.也就得出了D点的坐标. (2)已知了正方形的边长,即可求出A、C的坐标,在(1)中得出了D点的坐标,因此可用待定系数法求出抛物线的解析式,进而可用配方法或公式法求出抛物线顶点F的坐标. (3)可先求出直线BD的解析式,然后分两种情况求【解析】 ①PF∥OD,可得出P、F的纵坐标相同,将F点纵坐标代入直线BD的解析式中即可求出P点的坐标,然后判定PF是否与OD相等即可.如果PF=OD,则说明四边形PFDO是平行四边形,不是梯形,反之则是梯形. ②PO∥DF,可根据直线BD的解析式设P点坐标(先设横坐标,然后根据直线BD的解析式表示出纵坐标),由于PO∥DF,因此∠FDO与∠POA的正切值相同,据此可求出P点坐标,后面同①. 【解析】 (1)AD=6,D点坐标为(-4,0). (2)设抛物线的解析式为y=a(x-2)(x+4),已知抛物线过C(0,2), 则有:2=a(0-2)(0+4), 解得a=-. ∴抛物线的解析式为y=-x2-x+2, 顶点坐标为(-1,). (3)在直线DB上存在点P,使四边形PFDO为梯形, 直线DB的解析式为y=+. ①若PF∥OD 当y=时 即x=.P1(,) 此时PF≠OD 所以四边形PFDO不是平行四边形,PO与FD不平行所以四边形PFDO是梯形.(10分) ②若PO∥FD, 设P点横坐标为m,则纵坐标为+.过P作PG⊥x轴于G,抛物线对称x=-1与x轴交于K. tan∠FDK=tan∠POG 解之,得m=,经检验m=是原方程的根. P2(,) OP=,DF= 因为OP≠DF, 所以四边形PFDO不是平行四边形,PF与OD不平行. 所以四边形PFDO是梯形. 在直线DB上存在点P1(,),P2(,),使四边形PFDO为梯形.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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