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(2006•襄阳)已知:AC是⊙O的直径,点A、B、C、O在⊙O1上,OA=2....

(2006•襄阳)已知:AC是⊙O的直径,点A、B、C、O在⊙O1上,OA=2.建立如图所示的直角坐标系.∠ACO=∠ACB=60度.
(1)求点B关于x轴对称的点D的坐标;
(2)求经过三点A、B、O的二次函数的解析式;
(3)该抛物线上是否存在点P,使四边形PABO为梯形?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.

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(1)根据圆的圆周角的性质可求得△AOB是等边三角形,根据等边三角形的性质即可求得点B的坐标,再根据点B关于x轴的对称点的特点求得点D的坐标; (2)可设得二次函数的一般式,将点A、O、B的坐标代入函数解析式,解方程组即可求得函数的解析式; (3)∵△BOA是等边三角形,点D是点B关于x轴的对称点 ∴OA、BD相互垂直平分∴四边形DABO是菱形 ∴AD∥BO∴所求点P必在直线AD上 设直线AD的解析式为y=kx+b(k≠O),利用待定系数法求解即可. 【解析】 (1)如图:∵点A、B、C、D在⊙O上,且∠ACO=∠ACB=60°, ∴∠BOA=∠ABO=60°, ∴△ABO是等边三角形, ∵OA=2, 过点B作BD⊥OA于点D, ∴OD=OA-1,BD=OB•sin60°=, ∴B(1,), ∴点B关于x轴对称的点D的坐标为(1,-); (2)设经过A(2,0)、B(1,)、O(0,0)的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0), ∴, , ∴y=-+2; (3)存在点P,使四边形PABO为梯形, ∵△BOA是等边三角形, 点D是点B关于x轴的对称点, ∴OA、BD相互垂直平分, ∴四边形DABO是菱形, ∴AD∥BO, ∴所求点P必在直线AD上, 设直线AD的解析式为y=kx+b(k≠O), ∴, 即, ∴y=, 联立, 解得, 当时,就是点A(2,0); 当时, 即为所求点P(-1,-3), 过点P作PG⊥x轴于G,则|PG|=3, ∴PA=6而BO=2, 在四边形PABO中,BO∥AP且BO≠AP, ∴四边形PABO不是平行四边形, ∴OP与AB不平行, ∴四边形PABO为梯形, 同理,在抛物线上可求得另一点P(3,-3),也能使四边形PABO为梯形. 故存在点P(-1,-3),或P(3,-3),使四边形PABO为梯形.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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