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(2006•厦门)已知P(m,a)是抛物线y=ax2上的点,且点P在第一象限. ...

(2006•厦门)已知P(m,a)是抛物线y=ax2上的点,且点P在第一象限.
(1)求m的值
(2)直线y=kx+b过点P,交x轴的正半轴于点A,交抛物线于另一点M.
①当b=2a时,∠OPA=90°是否成立?如果成立,请证明;如果不成立,举出一个反例说明;
②当b=4时,记△MOA的面积为S,求manfen5.com 满分网的最大值.
(1)将P点坐标代入抛物线的解析式中即可求出m的值(要注意P点在第一象限的判定条件). (2)①先将P点坐标代入直线的解析式中,根据b=2a的条件可用a表示出直线AM的斜率.然后根据P点坐标求出直线OP的斜率,由于OP⊥AM,因此直线OP与直线AM的斜率的积为-1,由此可求出a的值.因此本题的就结论应该是成立的. ②求三角形MOA的面积,可以OA为底,以M点纵坐标为高,将b=4代入直线AM的解析式中,用a替换掉斜率k,然后求出A点的坐标;然后联立抛物线的解析式求出M点的坐标,即可用三角形面积公式求出S的表达式,即可得出与a的函数关系式,根据函数的性质即可求出其最大值. 【解析】 (1)m2a=a(a>0), m2=1(m>0), 即m=1; (2)①b=2a,y=kx+2a, P在直线上,则a=k+2a,即a=-k(k<0) 则kx+2a=0,即x=-=2, A(2,0) -kx2=kx-2k⇒x2+x-2=0⇒(x+2)(x-1)=0,x=-2或x=1 M(-2,4a) ∠OPA=90° 即a2=1,a=1 k=-1,y=-x-2,y=x2 P(1,1) 故当a=1时,∠OPA=90°成立,即当a>0且a≠1时,∠OPA=90°不成立; ②当b=4时,直线y=kx+b即为直线y=kx+4, kx+4=0⇒x=- 又∵直线y=kx+4过点P(1,a), ∴k+4=a⇒k=a-4, (a-4)x+4=ax2 即ax2-(a-4)x-4=0 即(ax+4)(x-1)=0 ∴S=••= =a-a2=-(a-2)2+, ∴当a=2时,max=.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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