Question

（2006•无锡）已知抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）的顶点是C（0，1），直线l：y=-ax+3与这条抛物线交于P、Q两点，与x轴、y轴分别交于点M和N．
（1）设点P到x轴的距离为2，试求直线l的函数关系式；
（2）若线段MP与PN的长度之比为3：1，试求抛物线的函数关系式．

Answer

（1）由于抛物线的顶点为C（0，1），因此抛物线的解析式中b=0，c=1．即抛物线的解析式为y=ax2+1．已知了P到x轴的距离为2，即P点的纵坐标为2．可根据直线l的解析式求出P点的坐标，然后将P点坐标代入抛物线的解析式中即可求得a的值，也就能求出直线l的函数关系式．
（2）本题要根据相似三角形来求．已知了线段MP与PN的长度之比为3：1，如果过P作x轴的垂线，根据平行线分线段成比例定理即可得出P点的纵坐标的值．进而可仿照（1）的方法，先代入直线的解析式，然后再代入抛物线中即可求出a的值，也就求出了抛物线的解析式．
【解析】
（1）∵抛物线的顶点是C（0，1），
∴b=0，c=1，
∴y=ax2+1．
如图1，∵a＞0，直线l过点N（0，3），
∴M点在x轴正半轴上．
∵点P到x轴的距离为2，
即点P的纵坐标为2．
把y=2代入y=-ax+3
得，x=，
∴P点坐标为（，2）．
∵直线与抛物线交于点P，
∴点P在y=ax2+1上，
∴2=a•（）2+1，
∴a=1．
∴直线l的函数关系式为y=-x+3．

（2）如图1，若点P在y轴的右边，记为P1
过点P1作P1A⊥x轴于A，
∵∠P1MA=∠NMO，
∴Rt△MP1A∽Rt△MNO，
∴．
∵，
∴MP1=3P1N，MN=MP1+P1N=4P1N
∴，
即，
∵ON=3，
∴P1A=，
即点P1的纵坐标为．
把y=代入y=-ax+3，
得x=，
∴点P1的坐标为（，）．
又∵点P1是直线l与抛物线的交点，
∴点P1在抛物线y=ax2+1上，
∴=a•（）2+1，
∴a=．
抛物线的函数关系式为y=x2+1．
如图2，若点P在y轴的左边，记为P2．作P2A⊥x轴于A，
∵∠P2MA=∠NMO，
∴Rt△MP2A∽Rt△MNO，
∴=．
∵，
∴MP2=3P2N，MN=MP2-P2N=2P2N，
∴，即=，
∵ON=3，
∴P2A=，即即点P2的纵坐标为．
由P2在直线l上可求得P2（-，），
又∵P2在抛物线上，
∴=a•（-）2+1，
∴a=．
∴抛物线的函数关系式为y=x2+1．