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(2006•威海)在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=8cm,CD=2cm,AD...

(2006•威海)在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=8cm,CD=2cm,AD=BC=6cm,M、N为同时从A点出发的两个动点,点M沿A⇒D⇒C⇒B的方向运动,速度为2cm/秒;点N沿A⇒B的方向运动,速度为1cm/秒.当M、N其中一点到达B点时,点M、N运动停止.设点M、N的运动时间为x秒,以点A、M、N为顶点的三角形的面积为ycm2
(1)试求出当0<x<3时,y与x之间的函数关系式;
(2)试求出当4<x<7时,y与x之间的函数关系式;
(3)当3<x<4时,以A、M、N为顶点的三角形与以B、M、N为顶点的三角形是否有可能相似?若相似,试求出x的值;若不相似,试说明理由.

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(1)由题意可证∠A=60˚,进而由三角函数可求△AMN的面积即y=x2. (2)过点M作MG⊥AB,垂足为G.可证△MGB∽△CFB,即求GM=(7-x),所以△AMN的面积即y=x-x2. (3)当3<x<4时,以A,M,N为顶点的三角形与以B,M,N为顶点的三角形不可能相似. 当x=3时,动点M与点D重合时,动点N恰好与点E重合,此时∠MNA=90˚. 当3<x<4时,∠MNA必为钝角.则∠MNA≠∠MNB,而∠MNA=∠NMB+∠MBN,因此,△AMN与△BMN不可能相似. 【解析】 (1)如图①,过D作DE⊥AB,垂足为E;过C作CF⊥AB,垂足为F. ∴CD=EF=2. ∵AD=BC,DE=CF, ∴Rt△ADE≌Rt△BCF. ∴AE=BF=3.(1分) 在Rt△ADE中,AD=6,AE=3, ∴∠ADE=30˚,∠A=60˚ ∴在△AMN中,AN=x,高为2x•sin60°=x. ∴y=•x•x.即y=x2. (2)如图②,过点M作MG⊥AB,垂足为G. ∵MG∥CF, ∴△MGB∽△CFB. ∴GM:CF=BM:BC. ∵CF=DE=, ∴GM:3=(6+2+6-2x):6. ∴GM=(7-x). ∴y=(7-x). 即y=x-x2. (3)当3<x<4时,以A,M,N为顶点的三角形与以B,M,N为顶点的三角形不可能相似. 当x=3时,动点M与点D重合时,动点N恰好与点E重合,此时∠MNA=90˚. 当3<x<4时,∠MNA必为钝角.则∠MNA≠∠MNB,而∠MNA=∠NMB+∠MBN,因此,△AMN与△BMN不可能相似.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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