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(2006•威海)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A(1,-3),B(3...

(2006•威海)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A(1,-3),B(3,-3),C(-1,5),顶点为M点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)试判断抛物线上是否存在一点P,使∠POM=90度?若不存在,说明理由;若存在,求出P点的坐标;
(3)试判断抛物线上是否存在一点K,使∠OMK=90°?说明理由.

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(1)已知了抛物线上A、B、C三点的坐标,可将三点坐标代入抛物线中,通过联立方程组求出抛物线的解析式. (2)本题可通过构建相似三角形来求解,过P作PE⊥y轴于E,过M作MF⊥y轴于F,如果∠POM=90°,那么△PEO∽△OFM,那么PE:OF=OE:BF,可根据抛物线的解析式求出M点的坐标,设出P点的坐标,然后根据得出的比例关系式即可求出P点的坐标. (3)可过M作OM的垂线,设其与y轴的交点为N,如果直线MN与抛物线的交点除了M外还有另外一个,那么此点必为K点,因此关键是求出直线MN的解析式,然后联立抛物线的解析式,看两函数的交点个数即可. 【解析】 (1)根据题意,得 , 解得; ∴抛物线的解析式为y=x2-4x. (2)抛物线上存在一点P,使∠POM=90˚. x=-=-=2,y==-4. ∴顶点M的坐标为(2,-4). 设抛物线上存在一点P,满足OP⊥OM,其坐标为(a,a2-4a). 过P点作PE⊥y轴,垂足为E;过M点作MF⊥y轴,垂足为F. 则∠POE+∠MOF=90˚,∠POE+∠EPO=90˚. ∴∠EPO=∠FOM. ∵∠OEP=∠MFO=90˚, ∴Rt△OEP∽Rt△MFO. ∴OE:MF=EP:OF. 即(a2-4a):2=a:4.(7分) 解,得a1=0(舍去),a2=. ∴P点的坐标为(,). (3)过顶点M作MN⊥OM,交y轴于点N.则∠FMN+∠OMF=90˚. ∵∠MOF+∠OMF=90˚, ∴∠MOF=∠FMN. 又∵∠OFM=∠MFN=90˚, ∴△OFM∽△MFN. ∴OF:MF=MF:FN. 即4:2=2:FN. ∴FN=1. ∴点N的坐标为(0,-5). 设过点M,N的直线的解析式为y=kx+b. 解得 直线的解析式为y=x-5. ∴ 把①代入②, 得x2-x+5=0.△=(-)2-4×5=-20=>0. ∴直线MN与抛物线有两个交点(其中一点为顶点M). ∴抛物线上必存在一点K,使∠OMK=90°.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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