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(2006•泰州)将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中,O为原点,C在x轴上,OA=6,OC=10.manfen5.com 满分网
(1)如图(1),在OA上取一点E,将△EOC沿EC折叠,使O点落在AB边上的D点,求E点的坐标;
(2)如图(2),在OA、OC边上选取适当的点E′、F,将△E′OF沿E′F折叠,使O点落在AB边上的D′点,过D′作D′G∥A′O交E′F于T点,交OC′于G点,求证:TG=A′E′.
(3)在(2)的条件下,设T(x,y)①探求:y与x之间的函数关系式.②指出变量x的取值范围.
(4)如图(3),如果将矩形OABC变为平行四边形OA“B“C“,使O C“=10,O C“边上的高等于6,其它条件均不变,探求:这时T(x,y)的坐标y与x之间是否仍然满足(3)中所得的函数关系,若满足,请说明理由;若不满足,写出你认为正确的函数关系式.
(1)根据折叠的性质可得出DE=OE,OC=CD,如果设出E点的坐标,可用E的纵坐标表示出AE,ED的长,可根据相似三角形ADE和CDB得出的关于AE、BC、AD、BD的比例关系式求出E点的纵坐标.也就求出了E的坐标; (2)本题可通过证D′T=OE′来求出,如果连接OD′,那么E′F必垂直平分OD′,如果设OD′与E′F的交点为P,那么OP=D′P,△OE′P≌△D′PT,可得D′T=OE′.由此可证得A′E′=TG. (3)可先根据T的坐标表示出A′D′,A′E′,然后可在直角三角形A′D′E′中表示出D′E′,而D′E′又可用A′O-A′E′表示.可以此来求出y,x的函数关系式. 在(1)中给出的情况就是x的最小值的状况,可根据AD的长求出x的最小值,当x取最大值时,E′F平分∠OAB,即E′与A′重合,四边形E′OGD为正方形,可据此求出此时x的值.有了x的最大和最小取值即可求出x的取值范围. (4)(2)(3)得出的结论均成立,证法同上. 【解析】 (1)方法1:设OE=m或E(0,m),则AE=6-m,OE=m,CD=10 由勾股定理得BD=8,则AD=2. 在△ADE中由勾股定理得(6-m)2+22=m2, 解得m=, ∴点E的坐标为(0,) 方法2:设OE=m或E(0,m),则AE=6-m,OE=m,CD=10. 由勾股定理得BD=8,则AD=2. 由∠EDC=∠EAD=90°,得∠AED=∠CDB,△ADE∽△BCD. 故, 解得m=, ∴点E的坐标为(0,). (2)连接OD′交E'F于P,由折叠可知E'F垂直平分OD'即OP=PD', 由OE'∥D'G,从而得出OE'=D'T. 从而AE'=TG. (3)① 连接OT,OD′,交FE′于点P, 由(2)可得OT=D'T, 由勾股定理可得x2+y2=(6-y)2, 得y=-x2+3. ②结合(1)可得AD'=OG=2时,x最小,从而x≥2, 当E'F恰好平分∠OAB时,AD'最大即x最大, 此时G点与F点重合,四边形AOFD'为正方形, 故x最大为6. 从而x≤6,2≤x≤6. (4)y与x之间仍然满足(3)中所得的函数关系式. 理由:连接OT'仍然可得OT'=D''T', 由勾股定理可得, 即x2+y2=(6-y)2. 从而(3)中所得的函数关系式仍然成立.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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