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(2006•十堰)已知抛物线C1:y=-x2+2mx+n(m,n为常数,且m≠0,n>0)的顶点为A,与y轴交于点C;抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称,其顶点为B,连接AC,BC,AB.
注:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为manfen5.com 满分网
(1)请在横线上直接写出抛物线C2的解析式:______
(2)当m=1时,判定△ABC的形状,并说明理由;
(3)抛物线C1上是否存在点P,使得四边形ABCP为菱形?如果存在,请求出m的值;如果不存在,请说明理由.

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(1)根据轴对称的性质可得:关于y轴对称,纵坐标不变,横坐标互为相反数,即可求得; (2)根据轴对称的性质可得:AC=BC等腰三角形,借助于辅助线,又可求得∠ACy=45°,可得△ABC为等腰直角三角形; (3)首先假设成立,根据菱形的性质求解,求得m=±,所以存在. 【解析】 (1)y=-x2-2mx+n.(2分) (2)当m=1时,△ABC为等腰直角三角形.(3分) 理由如下:如图: ∵点A与点B关于y轴对称,点C又在y轴上, ∴AC=BC.(4分) 过点A作抛物线C1的对称轴交x轴于D,过点C作CE⊥AD于E. ∴当m=1时,顶点A的坐标为A(1,1+n), ∴CE=1. 又∵点C的坐标为(0,n), ∴AE=1+n-n=1. ∴AE=CE. 从而∠ECA=45°, ∴∠ACy=45度. 由对称性知∠BCy=∠ACy=45°, ∴∠ACB=90度. ∴△ABC为等腰直角三角形.(7分) (3)假设抛物线C1上存在点P,使得四边形ABCP为菱形,则PC=AB=BC. 由(2)知,AC=BC, ∴AB=BC=AC. 从而△ABC为等边三角形.(8分) ∴∠ACy=∠BCy=30度. ∵四边形ABCP为菱形,且点P在C1上, ∴点P与点C关于AD对称. ∴PC与AD的交点也为点E, 因此∠ACE=90°-30°=60度. ∵点A,C的坐标分别为A(m,m2+n),C(0,n), ∴AE=m2+n-n=m2,CE=|m|. 在Rt△ACE中,tan60°===. ∴|m|=,∴m=±. 故抛物线C1上存在点P,使得四边形ABCP为菱形, 此时m=±.(12分) 说明:只求出m的一个值扣(2分).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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