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(2006•沈阳)如图,在平面直角坐标系中,直线y=-manfen5.com 满分网x+1分别与x轴,y轴交于点A,点B.
(1)以AB为一边在第一象限内作等边△ABC及△ABC的外接圆⊙M(用尺规作图,不要求写作法,但要保留作图痕迹);
(2)若⊙M与x轴的另一个交点为点D,求A,B,C,D四点的坐标;
(3)求经过A,B,D三点的抛物线的解析式,并判断在抛物线上是否存在点P,使△ADP的面积等于△ADC的面积?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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(1)分别以A、B为圆心,AB长为半径画弧.两弧相交于AB上方的C点,连接AC、BC,△ABC就是所求作的等边三角形. 作△ABC的外接圆时,可作任意两边的垂直平分线,垂直平分线的交点就是圆心M; (2)根据直线AB的解析式可求出A、B的坐标,此时可得出∠OBA=60°,那么AC∥y轴,因此C点的横坐标与A点的横坐标相同,C点的纵坐标是B点纵坐标的2倍据此可求出C点的坐标.连接BD,不难得出∠DBO=∠BAO=30°,由此可根据相似三角形OBD和OAB得出OB2=OD•OA,由此可求出OD的长,即D点的坐标; (3)可根据(2)得出的A、B、D三点的坐标用待定系数法求出抛物线的解析式.已知了△ADP和△ADC的面积相等,那么P点的纵坐标的绝对值和C点的纵坐标相等,然后将P点的纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标. 【解析】 (1)如图,正确作出图形,保留作图痕迹; (2)由直线y=-x+1,求得点A的坐标为(,0),点B的坐标为(0,1)∴在Rt△AOB中,OA=,OB=1 ∴AB=2,tan∠OBA= ∴∠OBA=60° ∴∠OAB=90°-∠OBA=30° ∵△ABC是等边三角形 ∴CA=AB=2,∠CAB=60° ∴∠CAD=∠CAB+∠OAB=90° ∴点C的坐标为(,2),连接BM ∵△ABC是等边三角形, ∴∠MBA=∠ABC=30° ∴∠OBM=∠OBA+∠MBA=90° ∴OB⊥BM ∴直线OB是⊙M的切线. ∴OB2=OD•OA ∴12=OD• ∴OD= ∴点D的坐标为(,0); (3)设经过A,B,D三点的抛物线的解析式是y=a(x-)(x-) 把B(0,1)代入上式得a=1 ∴抛物线的解析式是y=x2-x+1 存在点P,使△ADP的面积等于△ADC的面积 点P的坐标分别为P1(,2),P2(,2).
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考点分析:
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(2006•十堰)已知抛物线C1:y=-x2+2mx+n(m,n为常数,且m≠0,n>0)的顶点为A,与y轴交于点C;抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称,其顶点为B,连接AC,BC,AB.
注:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为manfen5.com 满分网
(1)请在横线上直接写出抛物线C2的解析式:______
(2)当m=1时,判定△ABC的形状,并说明理由;
(3)抛物线C1上是否存在点P,使得四边形ABCP为菱形?如果存在,请求出m的值;如果不存在,请说明理由.

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manfen5.com 满分网(2006•宿迁)如图,抛物线y=-manfen5.com 满分网x2+manfen5.com 满分网x-2与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C.
(1)求证:△AOC∽△COB;
(2)过点C作CD∥x轴交抛物线于点D.若点P在线段AB上以每秒1个单位的速度由A向B运动,同时点Q在线段CD上也以每秒1个单位的速度由D向C运动,则经过几秒后,PQ=AC.
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(2006•泰安)如图,Rt△AOB是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片,点O与原点重合,点A在x轴上,点B在y轴上,OB=manfen5.com 满分网,∠BAO=30度.将Rt△AOB折叠,使BO边落在BA边上,点O与点D重合,折痕为BC.
(1)求直线BC的解析式;
(2)求经过B,C,A三点的抛物线y=ax2+bx+c的解析式;若抛物线的顶点为M,试判断点M是否在直线BC上,并说明理由.

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(2006•泰州)将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中,O为原点,C在x轴上,OA=6,OC=10.manfen5.com 满分网
(1)如图(1),在OA上取一点E,将△EOC沿EC折叠,使O点落在AB边上的D点,求E点的坐标;
(2)如图(2),在OA、OC边上选取适当的点E′、F,将△E′OF沿E′F折叠,使O点落在AB边上的D′点,过D′作D′G∥A′O交E′F于T点,交OC′于G点,求证:TG=A′E′.
(3)在(2)的条件下,设T(x,y)①探求:y与x之间的函数关系式.②指出变量x的取值范围.
(4)如图(3),如果将矩形OABC变为平行四边形OA“B“C“,使O C“=10,O C“边上的高等于6,其它条件均不变,探求:这时T(x,y)的坐标y与x之间是否仍然满足(3)中所得的函数关系,若满足,请说明理由;若不满足,写出你认为正确的函数关系式.
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(2006•天津)已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(2,4).
(Ⅰ)试用含a的代数式分别表示b,c;
(Ⅱ)若直线y=kx+4(k≠0)与y轴及该抛物线的交点依次为D、E、F,且manfen5.com 满分网,其中O为坐标原点,试用含a的代数式表示k;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若线段EF的长m满足3manfen5.com 满分网≤m≤3manfen5.com 满分网,试确定a的取值范围.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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