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(2006•深圳)如图,抛物线y=ax2-8ax+12a(a<0)与x轴交于A、...

(2006•深圳)如图,抛物线y=ax2-8ax+12a(a<0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),抛物线上另有一点C在第一象限,满足∠ACB为直角,且恰使△OCA∽△OBC.
(1)求线段OC的长;
(2)求该抛物线的函数关系式;
(3)在x轴上是否存在点P,使△BCP为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的P点的坐标;若不存在,请说明理由.

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(1)令抛物线中y=0,可得出A、B的坐标,即可确定OA,OB的长.根据△OCA∽△OBC,可得出关于OC、OA、OB的比例关系式即可求出OC的长. (2)C是BP中点,因此C的横坐标是B点横坐标的一半,在(1)中已经求得了OC的长,因此不难得出C点的坐标.将C点坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式. (3)应该有四个符合条件的点: ①以C为圆心,BC为半径作弧,交x轴于一点,这点符合P点要求,此时CP=BC,已知了B、C的坐标,即可求出P点坐标. ②以B为圆心,BC为半径作弧,交x轴于两点,这两点也符合P点要求,此时BC=BP,根据B、C的坐标,不难得出BC的长,将B点坐标向左或向右平移BC个单位即可得出P点坐标. ③作BC的垂直平分线,与x轴的交点也符合P点要求,此时CP=BP,可设出P点坐标,用坐标系两点间距离公式表示出BP和CP的长,即可求出P点坐标. 因此共有4个符合条件的P点. 【解析】 (1)由ax2-8ax+12a=0(a<0) 得x1=2,x2=6. 即:OA=2,OB=6. ∵△OCA∽△OBC, ∴OC2=OA•OB=2×6. ∴OC=2(-2舍去). ∴线段OC的长为2. (2)∵△OCA∽△OBC ∴ 设AC=k,则BC=k 由AC2+BC2=AB2得 k2+(k)2=(6-2)2 解得k=2(-2舍去) ∴AC=2,BC=2=OC 过点C作CD⊥AB于点D ∴OD=OB=3 ∴CD= ∴C的坐标为(3,) 将C点的坐标代入抛物线的解析式得=a(3-2)(3-6) ∴a=- ∴抛物线的函数关系式为: y=-x2+x-4. (3)①当P1与O重合时,△BCP1为等腰三角形 ∴P1的坐标为(0,0); ②当P2B=BC时(P2在B点的左侧),△BCP2为等腰三角形 ∴P2的坐标为(6-2,0); ③当P3为AB的中点时,P3B=P3C,△BCP3为等腰三角形 ∴P3的坐标为(4,0); ④当BP4=BC时(P4在B点的右侧),△BCP4为等腰三角形 ∴P4的坐标为(6+2,0); ∴在x轴上存在点P,使△BCP为等腰三角形,符合条件的点P的坐标为: (0,0),(6-2,0),(4,0),(6+2,0).
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考点分析:
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(1)求证:△AOC∽△COB;
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(1)求直线BC的解析式;
(2)求经过B,C,A三点的抛物线y=ax2+bx+c的解析式;若抛物线的顶点为M,试判断点M是否在直线BC上,并说明理由.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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