Question

（2006•山西）如图所示，在平面直角坐标系中有点A（-1，0），点B（4，0），以AB为直径的半圆交y轴正半轴于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若在抛物线上有一点D，使四边形BOCD为直角梯形，求直线BD的解析式；
（4）设点M是抛物线上任意一点，过点M作MN⊥y轴，交y轴于点N．若在线段AB上有且只有一点P，使∠MPN为直角，求点M的坐标．

Answer

（1）已知了A、B的坐标，即可求出OA、OB的长，根据相交弦定理的推论即可求出OC的长，也就求出了C点的坐标．
（2）已知了三点的坐标，可用待定系数法求抛物线的解析式．
（3）要使四边形BOCD为直角梯形，那么CD∥OB，直线CD与抛物线的交点即为D点．根据抛物线的对称性即可得出D点的坐标．然后用待定系数法求出直线BD的解析式．
（4）已知在线段AB上有且只有一点使∠MPN为直角，如果以MN为直径作圆，那么P点必为圆和线段AB的切点．而MN∥x轴，因此三角形MPN是等腰直角三角形，因此M点的横坐标为纵坐标绝对值的2倍，然后分M在x轴上方或x轴下方两种情况分别代入抛物线的解析式中进行求解即可．
【解析】
（1）C点的坐标为（0，2）；理由如下：
如图，连接AC，CB．依相交弦定理的推论可得OC2=OA•OB，
解得OC=2．
故C点的坐标为（0，2）．

（2）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-4）．
把点C（0，2）的坐标代入上式得a=-．
∴抛物线解析式是y=-x2+x+2．

（3）如图，过点C作CD∥OB，交抛物线于点D，则四边形BOCD为直角梯形．
由（2）知抛物线的对称轴是x=，
∴点D的坐标为（3，2）．
设过点B，点D的解析式是y=kx+b．
把点B（4，0），点D（3，2）的坐标代入上式得
解之得
∴直线BD的解析式是y=-2x+8．

（4）【解析】
依题意可知，以MN为直径的半圆与线段AB相切于点P．
设点M的坐标为（m，n）．
①当点M在第一或第三象限时，m=2n．
把点M的坐标（2n，n）代入抛物线的解析式得n2-n-1=0，
解之得n=．
∴点M的坐标是（1+，）或（1-，）．
②当点M在第二或第四象限时，m=-2n．
把点M的坐标（-2n，n）代入抛物线的解析式得n2+2n-1=0，
解之得．
∴点M的坐标是（2-2，-1+）或（2+2，-1-）．
综上，满足条件的点M的坐标是（1+，），（1-，），
（2-2，-1+），（2+2，-1-）．