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(2006•衢州)在等腰梯形ABCD中,已知AB=6,BC=,∠A=45°,以A...

(2006•衢州)在等腰梯形ABCD中,已知AB=6,BC=manfen5.com 满分网,∠A=45°,以AB所在直线为x轴,A为坐标原点建立直角坐标系,将等腰梯形ABCD饶A点按逆时针方向旋转90°得到等腰梯形OEFG(O﹑E﹑F﹑G分别是A﹑B﹑C﹑D旋转后的对应点)(图1)
(1)写出C﹑F两点的坐标;
(2)等腰梯形ABCD沿x轴的负半轴平行移动,设移动后的OA=x(图2),等腰梯形ABCD与等腰梯形OEFG重叠部分的面积为y,当点D移动到等腰梯形OEFG的内部时,求y与x之间的关系式;
(3)线段DC上是否存在点P,使EFP为等腰三角形?若存在,求出点P坐标;若不存在,请说明理由.manfen5.com 满分网
(1)求这两点的坐标其实求出其中一个也就知道另外一个的坐标了,我们求C的坐标即可.如果过点C向x轴引垂线,那么组成的以BC为斜边的小直角三角形中,两直角边的长就都应该是2(可根据BC=2,∠A=∠C=45°,用正弦或余弦函数就能求出),那么C点的坐标就应该是(4,2).而F点的横坐标的绝对值等于C点纵坐标的绝对值,F点的纵坐标的绝对值等于C点横坐标的绝对值,因此F的坐标应是(-2,4). (2)在(1)中,我们得出了点C的坐标,那么用同样的方法可得出D点的坐标(2,2),当梯形向左平移x单位后,设DC与y轴交于H,那么DH=x-2.这样我们可以根据重合部分的面积=梯形DHOA的面积-三角形AQO的面积(设AD、OG交于Q),那么关键是求出三角形AQO的面积,根据旋转的性质可知,∠GQD=90°,即三角形AQO是个直角三角形,又因为∠AQO=45°,OA=x,那么很明显三角形AQO的两直角边就应该是x,那么三角形AQO的面积=×(x)2=x2.在上面我们求出了DH的长,那么梯形AOHD的面积=×(x-2+x)×2=2x-2.因此重合部分的面积=梯形ADHO的面积-三角形AQM的面积=-x2+2x-2.也就求出了x、y的函数关系式. (3)要分三种情况进行讨论: ①以E为顶点,EF、EP为腰的等腰三角形, ②以F为顶点,EF、FP为腰的等腰三角形. ③以P为顶点,FP、EP为腰的等腰三角形. 我们根据(1)的结果不难得出E点的坐标是(0,6),F点的坐标是(-2,4).根据P在DC线上那么,可设P点坐标是(m,2).那么可用坐标系中两点间的距离公式,分别按三种情况进行计算,得出符合条件的m的值. 【解析】 (1)C的坐标是(4,2),F的坐标是(-2,4) (2)过D作DM⊥AB于M,过C作CN⊥AB于N, 图(1)中,在直角三角形AMD中,AD=2,∠DOM=45°, 因此DM=AM=2. 因此D点的坐标是(2,2). 图(2),当OA=x时,设DC交y轴于H,AD交GO于Q,那么DH=x-2. 所以梯形AODH的面积=×(DH+OA)×DM=2x-2. △AQO中,根据旋转的性质及旋转角度为90度.可得: ∠AQO=90°, 又因为∠QAM=45°, 因此AQ=QO=x, 所以△AQO的面积=×AQ×OQ=x2 因此重合部分的面积y=S梯形AODH-S△AQO=2x-2-x2 即:y=-x2+2x-2(2<x<4) (3)由于P点在DC线上,设点P的坐标为(m,2). 根据旋转的性质以及图(1)中,B、C两点的坐标可知:E点的坐标是(0,6),F点的坐标是(-2,4). ①当以E为顶点,EF、EP为腰时,EF=EP=2, 因此(2)2=m2+(2-6)2, 即m2+16=8,此方程无解, 因此不存在这种情况. ②当以F为顶点,EF、FP为腰时,EF=FP=2, 因此(2)2=(m+2)2+(2-4)2,即m(m+4)=0,m=-4,m=0. 当m=-4时,P点坐标为(-4,2).PE==4=2EF, 因此P、E、F在一条直线上构不成三角形, 因此此时P点的坐标应该是(0,2). ③当以P为顶点,FP、EP为腰,EP=PF, 因此m2+(2-6)2=(m+2)2+(2-4)2,即m=2. 那么此时P的坐标为(2,2). 综上所述,存在符合条件的P点且坐标为(2,2)或(0,2).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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