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(2006•攀枝花)已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点为C,顶点为M,直线CM的解析式y=-x+2并且线段CM的长为manfen5.com 满分网
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线与x轴有两个交点A(x1,0)、B(x2,0),且点A在B的左侧,求线段AB的长;
(3)若以AB为直径作⊙N,请你判断直线CM与⊙N的位置关系,并说明理由.

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(1)利用C为抛物线和直线的公共点,根据直线解析式可求得C点坐标,进而求出c的值;利用M为抛物线和直线的公共点,将抛物线顶点坐标代入直线,求出b的值;过M点作y轴的垂线,垂足为Q,构造直角三角形,利用勾股定理求出a的值; (2)依据两点之间距离公式求解即可.已知抛物线与x轴有两个交点,故求出抛物线应为:y=-x2-2x+2.抛物线与x轴有两个交点且点A在B的左侧,故|AB|=|x1-x2|=4; (3)求出⊙N半径和直线到圆心的距离,比较它们的大小即可判断其位置关系. 【解析】 (1)解法一: 由已知,直线CM:y=-x+2与y轴交于点C(0,2) 抛物线y=ax2+bx+c过点C(0,2), 所以c=2,抛物线y=ax2+bx+c的顶点M(-,)在直线CM上, 所以=+2, 解得b=0或b=-2(2分) 若b=0,点C、M重合,不合题意,舍去, 所以b=-2.即M(,2-) 过M点作y轴的垂线,垂足为Q, 在Rt△CMQ中,CM2=CQ2+QM2 所以,8=()2+[2-(2-)]2, 解得,a=±. ∴所求抛物线为:y=-x2-2x+2或y=x2-2x+2(4分) 以下同下. 解法二:由题意得C(0,2), 设点M的坐标为M(x,y) ∵点M在直线y=-x+2上, ∴y=-x+2 由勾股定理得CM=, 由勾股定理得CM=, ∵CM=2,即x2+(y-2)2=8 解方程组 得,(2分) ∴M(-2,4)或M‘(2,0) 当M(-2,4)时, 设抛物线解析式为y=a(x+2)2+4, ∵抛物线过(0,2)点, ∴a=-, ∴y=-x2-2x+2(3分) 当M‘(2,0)时, 设抛物线解析式为y=a(x-2)2 ∵抛物线过(0,2)点, ∴a=, ∴y=-x2-2x+2 ∴所求抛物线为:y=-x2-2x+2或y=x2-2x+2(4分); (2)∵抛物线与x轴有两个交点, ∴y=x2-2x+2不合题意,舍去. ∴抛物线应为:y=-x2-2x+2(6分) 抛物线与x轴有两个交点且点A在B的左侧, ∴y=-x2-2x+2=0, 得AB=|x1-x2|==4;(8分) (3)∵AB是⊙N的直径, ∴r=,N(-2,0), 又∵M(-2,4), ∴MN=4 设直线y=-x+2与x轴交于点D,则D(2,0), ∴DN=4,可得MN=DN, ∴∠MDN=45°,作NG⊥CM于G,在Rt△NGD中, NG=DN•sin45°=2=r(10分) 即圆心到直线CM的距离等于⊙N的半径 ∴直线CM与⊙N相切(12分).
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考点分析:
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(2)求DE所在直线的解析式;
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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