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(2006•南平)如图,正方形ABCD的边长为1,点E是AD边上的动点,从点A沿...

(2006•南平)如图,正方形ABCD的边长为1,点E是AD边上的动点,从点A沿AD向D运动,以BE为边,在BE的上方作正方形BEFG,连接CG.请探究:
(1)线段AE与CG是否相等请说明理由:
(2)若设AE=x,DH=y,当x取何值时,y最大?
(3)连接BH,当点E运动到AD的何位置时,△BEH∽△BAE?

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(1)AE=CG,要证结论,必证△ABE≌△CBG,由正方形的性质很快确定∠3=∠4,又AB=BC,BE=BG,符合SAS即证. (2)先证△ABE∽△DEH,所以,即可求出函数解析式y=-x2+x,继而求出最值. (3)要使△BEH∽△BAE,需,又因为△ABE∽△DEH,所以,即,所以当E点是AD的中点时,△BEH∽△BAE. 【解析】 (1)AE=CG. 理由:正方形ABCD和正方形BEFG中, ∠3+∠5=90°, ∠4+∠5=90°, ∴∠3=∠4. 又AB=BC,BE=BG, ∴△ABE≌△CBG. ∴AE=CG. (2)∵正方形ABCD和正方形BEFG, ∴∠A=∠D=∠FEB=90°. ∴∠1+∠2=90°∠2+∠3=90°. ∴∠1=∠3. 又∵∠A=∠D, ∴△ABE∽△DEH. ∴. ∴. ∴y=-x2+x =-(x-)2+ 当x=时,y有最大值为. (3)【解析】 当E点是AD的中点时,△BEH∽△BAE, 理由:∵E是AD中点, ∴AE=. ∴DH=. 又∵△ABE∽△DEH, ∴. 又∵, ∴. 又∠DAB=∠FEB=90°, ∴△BEH∽△BAE.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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