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(2006•泸州)如图,已知二次函数y=(1-m)x2+4x-3的图象与x轴交于...

(2006•泸州)如图,已知二次函数y=(1-m)x2+4x-3的图象与x轴交于点A和B,与y轴交于点C.
(1)求点C的坐标;
(2)若点A的坐标为(1,0),求二次函数的解析式;
(3)在(2)的条件下,在y轴上是否存在点P,使以P、O、B为顶点的三角形与△AOC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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(1)令抛物线的解析式中x=0,即可得出C的坐标. (2)将A点坐标代入抛物线中进行求解即可. (3)可先根据(2)的抛物线求出B点的坐标,即可求得OB的长.所求的两三角形中,已知了∠POB=∠AOC=90°,因此只需根据两组直角边对应成比例求出OP的长即可.(由于两相似三角形的对应边不确定,要分类进行求解,方法一致.) 【解析】 (1)点C的坐标为(0,-3). (2)∵二次函数过点A(1,0),得m=2, 即所求二次函数的解析式为y=-x2+4x-3. (3)假设存在这样的点P(如图所示), 设点P的坐标为(0,y), 当y=-x2+4x-3=0时,有x1=1,x2=3, ∴点B的坐标为(3,0), 即OP=|y|,OA=1,OB=3,OC=3. ①当△POB∽△AOC时,y=±1; ②当△BOP∽△AOC时,y=±9; ③当BP∥AC时,△BOP∽△AOC,这时|y|=9. ∵这时的y<0, ∴y=-9,与②中的第二个解相同. 综上可知,在y轴上存在点P,使点P、O、B为顶点的三角形与△AOC相似, 这样的点有四个,分别是P1(0,-1)、P2(0,1)、P3(0,-9)、P4(0,9).
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考点分析:
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(2)求系数a的取值范围;
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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