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(2006•防城港)在矩形ABCD中,AB=4,BC=2,以A为坐标原点,AB所...

(2006•防城港)在矩形ABCD中,AB=4,BC=2,以A为坐标原点,AB所在的直线为x轴,建立直角坐标系.然后将矩形ABCD绕点A逆时针旋转,使点B落在y轴的E点上,则C和D点依次落在第二象限的F点上和x轴的G点上(如图).
(1)求经过B,E,G三点的二次函数解析式;
(2)设直线EF与(1)的二次函数图象相交于另一点H,试求四边形EGBH的周长.
(3)设P为(1)的二次函数图象上的一点,BP∥EG,求P点的坐标.

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(1)根据旋转的性质可知:AG=AD,AE=AB,由此可求出E、G的坐标,用待定系数法即可求出抛物线的解析式. (2)先根据抛物线的解析式求出H点的坐标,然后根据G、F、B、H的坐标来求出四边形的周长即可. (3)先求出直线GE的解析式,已知直线BP与GE平行,因此两直线的斜率相同,可据此求出直线BP的解析式,然后联立抛物线的解析式即可求出P点的坐标. 【解析】 (1)由题意可知,AE=AB=4,AG=AD=BC=2. ∴B(4,0),E(0,4),G(-2,0). 设经过B,E,G三点的二次函数解析式是y=a(x+2)(x-4). 把E(0,4)代入之,求得a=-. ∴所求的二次函数解析式是:y=-(x+2)(x-4)=-x2+x+4. (2)由题意可知,四边形AEFG为矩形. ∴FH∥GB,且GB=6. ∵直线y=4与二次函数图象的交点H的坐标为H(2,4), ∴EH=2. ∵G与B,E与H关于抛物线的对称轴对称, ∴BH=EG==2. ∴四边形EGBH的周长 =2+6+2×2 =8+4. (3)易知直线EG的解析式为y=2x+4, 可是直线PB的解析式为y=2x+h, 则有8+h=0,h=-8; ∴直线BP的解析式为y=2x-8; 联合一次,二次函数解析式组成方程组, 解得或(此组数为B点坐标) ∴所求的P点坐标为P(-6,-20).
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考点分析:
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(2006•佛山)已知:在四边形ABCD中,AB=1,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,且AE=BF=CG=DH.设四边形EFGH的面积为S,AE=x(0≤x≤1).
(1)如图1,当四边形ABCD为正方形时,
①求S关于x的函数解析式,并在图2中画出函数的草图;
②当x为何值时,S=manfen5.com 满分网
(2)如图3,当四边形ABCD为菱形,且∠A=30°时,四边形EFGH的面积能否等于manfen5.com 满分网?若能,求出相应x的值;若不能,请说明理由.
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(2006•佛山)已知:在四边形ABCD中,AB=1,E、F、G、H分别时AB、BC、CD、DA上的点,且AE=BF=CG=DH.设四边形EFGH的面积为S,AE=x(0≤x≤1).
(1)如图①,当四边形ABCD为正方形时,
①求S关于x的函数解析式,并求S的最小值S
②在图②中画出①中函数的草图,并估计S=0.6时x的近似值(精确到0.01);
(2)如图③,当四边形ABCD为菱形,且∠A=30°时,四边形EFGH的面积是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.
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(2006•福州)对于任意两个二次函数:y1=a1x2+b1x+c1,y2=a2x2+b2x+c2,(a1a2≠0),当|a1|=|a2|时,我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线.
现有△ABM,A(-1,0),B(1,0).记过三点的二次函数抛物线为“C□□□”(“□□□”中填写相应三个点的字母)
(1)若已知M(0,1),△ABM≌△ABN(0,-1).请通过计算判断CABM与CABN是否为全等抛物线;
(2)在图2中,以A、B、M三点为顶点,画出平行四边形.
①若已知M(0,n),求抛物线CABM的解析式,并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与CABM全等的抛物线解析式.
②若已知M(m,n),当m,n满足什么条件时,存在抛物线CABM根据以上的探究结果,判断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与CABM全等的抛物线?若存在,请列出所有满足条件的抛物线“C□□□”;若不存在,请说明理由.
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(2006•广安)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B,且12a+5c=0.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如果点P由点A开始沿AB边以2cm/s的速度向点B移动,同时点Q由点B开始沿BC边以1cm/s的速度向点C移动.
①移动开始后第t秒时,设S=PQ2(cm2),试写出S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;
②当S取得最小值时,在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出R点的坐标;如果不存在,请说明理由.

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(2006•广东)已知四边形ABCD是矩形,BC>AB,直线MN分别与AB,BC交于E,F两点,P为对角线AC上一动点(P不与A,C重合).
(1)当点E,F分别为AB,BC的中点时,(如图1)问点P在AC上运动时,点P,E,F能否构成直角三角形?若能,共有几个?请在图中画出所有满足条件的三角形.
(2)若AB=3,BC=4,P为AC的中点,当直线MN的移动时,始终保持MN∥AC,(如图2)求△PEF的面积S△PEF与FC的长x之间的函数关系式.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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