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(2006•大连)如图,点P(-m,m2)抛物线:y=x2上一点,将抛物线E沿x...

(2006•大连)如图,点P(-m,m2)抛物线:y=x2上一点,将抛物线E沿x轴正方向平移2m个单位得到抛物线F,抛物线F的顶点为B,抛物线F交抛物线E于点A,点C是x轴上点B左侧一动点,点D是射线AB上一点,且∠ACD=∠POM.问△ACD能否为等腰三角形?若能,求点C的坐标;若不能,请说明理由.
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说明:
(1)如果你反复探索,没有解决问题,请写出探索过程(要求至少写3步);
(2)在你完成(1)之后,可以从①、②中选取一个条件,完成解答(选取①得7分;选取②得10分).①m=1;②m=2.
由平移的性质求得点A、B的坐标,不难得出∠POM=∠AOB=∠ABO=∠ACD,如果△ACD是等腰三角形,可分三种情况: ①AC=AD,∠ACD=∠ADC,已证得∠AOB=∠ABO=∠ACD=∠ADC,此时C、D与O、B重合,C点坐标即为原点坐标. ②CA=CD,如图11,∠AOC=∠ABO+∠OAB,∠CBD=∠AOB+∠OAB,因此∠AOC=∠OBD,不难得出△AOC≌△CBD,那么OA=BC,可在直角三角形AOH中,求出OA的长,即可得出BC的值,进而可求出C点坐标. ③DA=DC,此时∠DAC=∠ACD,而上面证得∠ACD=∠ABO=∠POM,那么∠CAB=∠ABC,即CA=CB,可设出C点坐标,然后表示出BC、AC、CH的长,在直角三角形ACH中,根据勾股定理即可求出C的坐标. 【解析】 △ACD能为等腰三角形. 由平移的性质可得,A点坐标 为(m,m2),B点坐标为(2m,0). 设C点坐标为(x,0),过A点作AH⊥x轴,垂足为H,连接AO,∵A点坐标为(m,m2), ∴H点坐标为(m,0),AH=m2. ∵B点坐标为(2m,0), ∴OH=BH=m.∴AB=AO, ∴∠ABC=∠AOB,由已知可得,AB∥OP, ∴∠ABC=∠POM. 又∵∠ACD=∠POM, ∴∠ACD=∠ABC=∠AOB. 若△ACD为等腰三角形,则AC=AD,或CD=CA,或DA=DC. 当AC=AD时 如图10,∵AC=AD, ∴∠ACD=∠ADC. ∴∠ADC=∠ACD=∠ABC, ∴点D与点B重合,点C与点O重合,∴C点坐标为(0,0). 当CD=CA时, 方法一: 如图,∵CD=CA, ∴∠CAD=∠CDA. ∵∠ABC=∠AOB, ∴∠CBD=∠AOC. ∵∠ACD=∠ABC, 又∵∠ABC=∠BCD+∠ADC,∠ACD=∠BCD+∠ACB, ∴∠ADC=∠ACB, ∴△BCD≌△OAC,∴BC=OA. 在Rt△AOB中,OA2=OH2+AH2=m2+(m2)2, ∴BC=OA=m. ∴OC=BC-OB=m-2m, ∴C点坐标为(2m-m,0). 方法二: 如图11,∵CA=CD,∴∠CAD=∠CDA. 又∵∠ACD=∠ABC,∠CAB=∠DAC, ∴△ACB∽△ADC,∴∠ACB=∠CDA, ∴∠CAD=∠ACB,∴BC=AB.∴BC=OA. 余下部分同方法一. 当DA=DC时, 如图12,∵DA=DC, ∴∠DAC=∠ACD. ∵∠ACD=∠ABC, ∴∠DAC=∠ABC, ∴AC=BC. ∵BC=2m-x, ∴AC=2m-x. 在Rt△ACH中,AC2=AH2+CH2. ∴(2m-x)2=(m2)2+(m-x)2. ∴x=. ∴C点坐标为(,0). 探索过程一: 由已知可得:AB∥OP, ∴∠ABC=∠POM. ∵∠ACD=∠POM, ∴∠ACD=∠POM=∠ABC. 探索过程二: 若△ACD为等腰三角形,则有三种可能,即AC=AD,或CD=CA,或DA=DC. 当AC=AD时, ∴∠ACD=∠ADC. 选择条件① 当m=1时,P点坐标为(-1,1),由平移性质可得,A点坐标为(1,1),B点坐标为(2,0). 过A点作AH⊥x轴,垂足为H,连接AO, ∴H点坐标为(1,0),AH=1,OH=BH=1. ∴AB=AO,∴∠ABC=∠AOB=45°,∠OAB=90度. 由已知可得,OP∥AB, ∴∠ABC=∠POM. 又∵∠ACD=∠POM, ∴∠ACD=∠ABC=∠AOB=45度. 若△ACD为等腰三角形,则有三种可能,即AC=AD,或CD=CA,或DA=DC. 当AC=AD时, 如图13, ∵AC=AD, ∴∠ACD=∠ADC. ∵∠ACD=∠ABC, ∴∠ABC=∠ADC=∠AOB, ∴点D与点B重合,点C与点O重合, ∴C点坐标为(0,0). 当CA=CD时, 方法一: 如图14, ∵CA=CD, ∴∠CAD=∠CDA. ∵∠ACB=∠AOB+∠OAC, ∴∠ACD+∠DCB=∠AOB+∠OAC, ∴∠DCB=∠OAC. 又∵∠AOB=∠ABC, ∴△BCD≌△OAC, ∴BC=OA. 在∵DA=DC中,OB2=OA2+AB2=2OA2, ∴4=2OA2, ∴OA=.∴OC=OB-BC=OB-OA=2-, ∴C点坐标为(2-,0). 方法二: 如图14,∵CA=CD, ∴∠CAD=∠CDA. 又∵∠ACD=∠ABC,∠CAD=∠BAC, ∴△ACD∽△ABC, ∴∠CDA=∠ACB. ∴∠CAD=∠ACB, ∴AB=BC. 在Rt△ACH中,OB2=OA2+AB2=2AB2, ∴4=2AB2, ∴AB=.∴BC=, ∴OC=OB-BC=2-, ∴C点坐标为(2-,0). 当DA=DC时, 如图15,∵DA=DC, ∴∠ACD=∠DAC. ∵∠ACD=45°, ∴∠DAC=45°, ∵∠OAB=90°, ∴AC平分∠OAB, 又∵AO=AB, ∴C是OB中点, ∴C点坐标为(1,0). 选择条件② 当m=2时,P点坐标为(-2,4),由平移的性质得, A点坐标为(2,4),B点坐标为(4,0). 连接OA,过A点作AH⊥x轴,垂足为H, ∴H点坐标为(2,0),AH=4,OH=BH=2, ∴AB=AO, ∴∠ABC=∠AOB. 由已知可得,OP∥AB, ∴∠ABC=∠POM. 又∵∠ACD=∠POM, ∴∠ACD=∠ABC=∠AOB. 若△ACD为等腰三角形,则有三种可能, 即AC=AD,或CD=CA,或DA=DC. 当AC=AD时, 如图16. ∵AC=AD, ∴∠ACD=∠ADC. 又∵∠ACD=∠ABC=∠AOB, ∴∠ACD=∠ABC=∠AOB=∠ADC. ∴点D与点B重合,点C与点O重合, ∴C点坐标为(0,0).(5分) 当CA=CD时, 方法一: 如图17,∵CA=CD, ∴∠CAD=∠CDA. ∵∠ABC=∠ADC+∠BCD, 又∵∠ACD=∠ACB+∠BCD,∠ACD=∠ABC, ∴∠ADC=∠ACB.(6分) 又∵∠ABC=∠AOB, ∴∠CBD=∠AOC, ∴△CBD≌△AOC, ∴BC=OA.(7分) 在Rt△AOH中,OA2=AH2+OH2=42+22=20, ∴BC=OA=2.∵OC=BC-OB=2-4, ∴C点坐标为(4-2,0). 方法二: 如图17,∵CA=CD, ∴∠CAD=∠CDA. ∵∠ACD=∠ABC, 又∵∠CAD=∠BAC, ∴△ACD∽△ABC, ∴∠CDA=∠ACB, ∴∠CAD=∠ACB. ∴AB=BC. 在Rt△ABH中,AB2=AH2+BH2=42+22=20, ∴BC=AB=2.∴OC=BC-OB=2-4. ∴C点坐标为(4-2,0). 当DA=DC时, 如图18,∵DA=DC, ∴∠DAC=∠ACD. ∵∠ACD=∠ABC, ∴∠DAC=∠ABC. ∴AC=BC. 在Rt△ACH中,AC2=AH2+CH2, ∴(4-x)2=42+(2-x)2, ∴x=-1.∴C点坐标为(-1,0).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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