Question

（2006•成都）如图，在平面直角坐标系中，已知点B（-2，0），A（m，0）（-＜m＜0），以AB为边在x轴下方作正方形ABCD，点E是线段OD与正方形ABCD的外接圆除点D以外的另一个交点，连接BE与AD相交于点F．
（1）求证：BF=DO；
（2）设直线l是△BDO的边BO的垂直平分线，且与BE相交于点G．若G是△BDO的外心，试求经过B、F、O三点的抛物线的解析表达式；
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点P，使该点关于直线BE的对称点在x轴上？若存在，求出所有这样的点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）本题可通过全等三角形来证简单的线段相等，三角形ABF和ADO中，根据圆周角定理可得出∠ABF=∠ADO，已知了一组直角和AB=AD，因此两三角形全等，即可得出BF=OD的结论．
（2）如果G是三角形BDO的外心，根据三角形外心定义可知BE必垂直平分OD，因此三角形BOD是等腰三角形．在等腰直角三角形ABD中，BD=BO=2，AB=OB-OA=2+m，因此可根据AB、BD的比例关系求出m的值，即可得出OA的长，而在（1）得出的全等三角形中，可得出OA=FG，据此可求出F点坐标．已知了B、F、O三点坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）在（2）中已经证得BE是∠OBD的角平分线，因此P点必为直线BD与抛物线的交点，先求出直线BD的解析式，然后联立抛物线的解析式可得出P点坐标．
（1）证明：在△ABF和△ADO中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAF=∠DAO=90°．
又∵∠ABF=∠ADO，
∴△ABF≌△ADO，
∴BF=DO．

（2）【解析】
由（1），有△ABF≌△ADO，
∵AO=AF=m．
∴点F（m，m）．
∵G是△BDO的外心，
∴点G在DO的垂直平分线上．
∴点B也在DO的垂直平分线上．
∴△DBO为等腰三角形，
∵AB=AD，
在Rt△BAD中，由勾股定理得：BO=BD=AB．
而|BO|=2，|AB|=|-2-m|=2+m，
∴2=（2+m），
∴m=2-2．
∴F（2-2，2-2）．
设经过B，F，O三点的抛物线的解析表达式为y=ax2+bx+c（a≠0）．
∵抛物线过点O（0，0），
∴c=0．
∴y=ax2+bx． ①
把点B（-2，0），点F（2-2，2-2）的坐标代入①中，
得
即
解得
∴抛物线的解析表达式为y=x2+x．②

（3）【解析】
假定在抛物线上存在一点P，使点P关于直线BE的对称点P'在x轴上．
∵BE是∠OBD的平分线，
∴x轴上的点P'关于直线BE的对称点P必在直线BD上，
即点P是抛物线与直线BD的交点．
设直线BD的解析表达式为y=kx+b，并设直线BD与y轴交于点Q，则由△BOQ是等腰直角三角形．
∴|OQ|=|OB|．
∴Q（0，-2）．
把点B（-2，0），点Q（0，-2）代入y=kx+b中，
得
∴
∴直线BD的解析表达式为y=-x-2．
设点P（x，y），则有y=-x-2． ③
把③代入②，得x2+x=-x-2，
∴x2+（+1）x+2=0，
即x2+2（+1）x+4=0．
∴（x+2）（x+2）=0．
解得x=-2或x=-2．
当x=-2时，y=-x-2=2-2=0；
当x=-2时，y=-x-2=2-2．
∴在抛物线上存在点P1（-2，0），P2（-2，2-2），它们关于直线BE的对称点都在x轴上．