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(2006•成都)如图,在平面直角坐标系中,已知点B(-2manfen5.com 满分网,0),A(m,0)(-manfen5.com 满分网<m<0),以AB为边在x轴下方作正方形ABCD,点E是线段OD与正方形ABCD的外接圆除点D以外的另一个交点,连接BE与AD相交于点F.
(1)求证:BF=DO;
(2)设直线l是△BDO的边BO的垂直平分线,且与BE相交于点G.若G是△BDO的外心,试求经过B、F、O三点的抛物线的解析表达式;
(3)在(2)的条件下,在抛物线上是否存在点P,使该点关于直线BE的对称点在x轴上?若存在,求出所有这样的点的坐标;若不存在,请说明理由.

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(1)本题可通过全等三角形来证简单的线段相等,三角形ABF和ADO中,根据圆周角定理可得出∠ABF=∠ADO,已知了一组直角和AB=AD,因此两三角形全等,即可得出BF=OD的结论. (2)如果G是三角形BDO的外心,根据三角形外心定义可知BE必垂直平分OD,因此三角形BOD是等腰三角形.在等腰直角三角形ABD中,BD=BO=2,AB=OB-OA=2+m,因此可根据AB、BD的比例关系求出m的值,即可得出OA的长,而在(1)得出的全等三角形中,可得出OA=FG,据此可求出F点坐标.已知了B、F、O三点坐标,可用待定系数法求出抛物线的解析式. (3)在(2)中已经证得BE是∠OBD的角平分线,因此P点必为直线BD与抛物线的交点,先求出直线BD的解析式,然后联立抛物线的解析式可得出P点坐标. (1)证明:在△ABF和△ADO中, ∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=AD,∠BAF=∠DAO=90°. 又∵∠ABF=∠ADO, ∴△ABF≌△ADO, ∴BF=DO. (2)【解析】 由(1),有△ABF≌△ADO, ∵AO=AF=m. ∴点F(m,m). ∵G是△BDO的外心, ∴点G在DO的垂直平分线上. ∴点B也在DO的垂直平分线上. ∴△DBO为等腰三角形, ∵AB=AD, 在Rt△BAD中,由勾股定理得:BO=BD=AB. 而|BO|=2,|AB|=|-2-m|=2+m, ∴2=(2+m), ∴m=2-2. ∴F(2-2,2-2). 设经过B,F,O三点的抛物线的解析表达式为y=ax2+bx+c(a≠0). ∵抛物线过点O(0,0), ∴c=0. ∴y=ax2+bx. ① 把点B(-2,0),点F(2-2,2-2)的坐标代入①中, 得 即 解得 ∴抛物线的解析表达式为y=x2+x.② (3)【解析】 假定在抛物线上存在一点P,使点P关于直线BE的对称点P'在x轴上. ∵BE是∠OBD的平分线, ∴x轴上的点P'关于直线BE的对称点P必在直线BD上, 即点P是抛物线与直线BD的交点. 设直线BD的解析表达式为y=kx+b,并设直线BD与y轴交于点Q,则由△BOQ是等腰直角三角形. ∴|OQ|=|OB|. ∴Q(0,-2). 把点B(-2,0),点Q(0,-2)代入y=kx+b中, 得 ∴ ∴直线BD的解析表达式为y=-x-2. 设点P(x,y),则有y=-x-2. ③ 把③代入②,得x2+x=-x-2, ∴x2+(+1)x+2=0, 即x2+2(+1)x+4=0. ∴(x+2)(x+2)=0. 解得x=-2或x=-2. 当x=-2时,y=-x-2=2-2=0; 当x=-2时,y=-x-2=2-2. ∴在抛物线上存在点P1(-2,0),P2(-2,2-2),它们关于直线BE的对称点都在x轴上.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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