Question

（2005•荆州）已知一次函数y=x+2的图象分别交x轴，y轴于A、B两点，⊙O₁过以OB为边长的正方形OBCD的四个顶点，两动点P、Q同时从点A出发在四边形ABCD上运动，其中动点P以每秒个单位长度的速度沿A→B→A运动后停止；动点Q以每秒2个单位长度的速度沿A→O→D→C→B运动，AO₁交y轴于E点，P、Q运动的时间为t（秒）．
（1）直接写出E点的坐标和S_△ABE的值；
（2）试探究点P、Q从开始运动到停止，直线PQ与⊙O₁有哪几种位置关系，并指出对应的运动时间t的范围；
（3）当Q点运动在折线AD→DC上时，是否存在某一时刻t使得S_△APQ：S_△ABE=3：4？若存在，请确定t的值和直线PQ所对应的函数解析式；若不存在，说明理由．

Answer

（1）依题意容易知道O1的坐标，根据待定系数法可以确定直线AE的解析式，然后求出E的坐标，最后求出S△ABE；
（2）容易知道当Q运动到O点时PQ与圆相切，此时t=1，所以可以确定其他位置的t的值；
（3）根据已知条件容易知道A（-2，0），B（0，2），OA=2，OB=2然后把S△APQ，S△APM，S四边形PMDQ，S△ADQ分别用t表示，然后根据已知条件可以列出关于t的方程，解方程就可以确定t的值，从而确定直线PQ的函数解析式．
【解析】
（1）由题意知，A（-2，0），B（0，2），
∴OB=OD=2，
∴O1（1，1），
设AO1的直线的解析式为y=kx+b，则有0=-2k+b，1=k+b，
解得：b=，k=，
∴y=x+，
∴E（0，），
∴BE=，
S△ABE=OA•BE=；

（2）直线PQ与⊙O1有三种位置关系，分别是相离，相切，相交，
当PQ与⊙O1相离，0＜t＜1；
当PQ与⊙O1相切时，t=1或t=4；
当PQ与⊙O1相交时，4＞t＞1；

（3）①Q点运动在折线AD上时，当点Q运动到原点，即Q（0，0）时，点P的坐标为（-1，1），
S△APQ=1，且满足S△APQ：S△ABE=3：4，此时t=1，直线PQ所对应的函数解析式y=-x．
②Q点运动在折线AD上时，P到了BA方向，根据已知得A（-2，0），B（0，2），
∴OA=2，OB=2，AB=2，OD=OB=2，
O1（1，1），此时P，Q的位置如图，过P作PM⊥AD于M，P运动的路程为t，
∴PB=t-AB=t-2，
∴AP=AB-PB=4-t，而△APM为等腰直角三角形，
∴PM=AM=4-t，Q运动的路程为2t，
∴QD=2t-OA-OD=2t-4，
而S△APQ=S△APM+S四边形PMDQ-S△ADQ，
S△APM+S四边形PMDQ=+=t2-4t+8，
S△ADQ==4t-8，
∴S△APQ=t2-8t+16，若S△APQ：S△ABE=3：4，而S△ABE=，
∴S△APQ=1，
∴1=t2-8t+16，
∴t=3或t=5，当t=5时，Q在BC上，不符合题意，舍去，
∴AM=1=PM，
∴OM=1，P（-1，1），
QD=2，∴Q在C点处，
∴Q（2，2），
设直线PQ的函数解析式为y=kx+b，
∴，
∴k=，b=，
∴y=x+．