Question

（2005•嘉兴）在坐标平面内，半径为R的⊙O与x轴交于点D（1，0）、E（5，0），与y轴的正半轴相切于点B．点A、B关于x轴对称，点P（a，0）在x的正半轴上运动，作直线AP，作EH⊥AP于H．
（1）求圆心C的坐标及半径R的值；
（2）△POA和△PHE随点P的运动而变化，若它们全等，求a的值；若给定a=6，试判定直线AP与⊙C的位置关系（要求说明理由）．

Answer

（1）由题意知圆心C点的横坐标为DE中点的坐标，纵坐标和B点纵坐标相等，用切割线定理求出OB的长即可，C点的横坐标等于半径；
（2）因为△POA≌△PHE，OE的长为直角边和斜边的和，而OE的长已求，用OP表示PE，并且OA=OB．
根据勾股定理求出OP的长即为a的值，过A作圆的切线为标准证明AP与⊙C的关系．
【解析】
（1）连接BC，则BC⊥y轴．
取DE中点M，连CM，则CM⊥x轴．
∵OD=1，OE=5，
∴OM=3．
∵OB2=OD•OE=5，
∴OB=．
∴圆心C，半径R=3．

（2）∵△POA≌△PHE，
∴PA=PE．
∵OA=OB=，OE=5，OP=a，
∴PA2=a2+5，
PE2=（5-a）2，
∴a2+5=（a-5）2，
a=2．

（3）解法一：
过点A作⊙C的切线AT（T为切点），交x轴正半轴于Q．
设Q（m，0），则QE=m-5，QD=m-1，
QT=QA-AT=QA-AB=．
由QT2=QE•QD，
得=（m-5）（m-1），
2=3m+10，
11m2-60m=0．
∵m＞0，
∴m=．
∵a=6，点P（6，0），在点Q的右侧，
∴直线AP与⊙C相离．

解法二：
设射线AP、BC交于点F，作CT⊥AF于T．
∵△AOP∽△CTF，
∴．
而AO=，AP=，
CF=BF-BC=12-3=9，
∴，
CT==3=R，
∴直线AP与⊙C相离．