Question

（2005•烟台）（1）如图1，直线MN与⊙O相交，且与⊙O的直径AB垂直，垂足为P，过点P的直线与⊙O交于C、D两点，直线AC交MN于点E，直线AD交MN于点F．求证：PC•PD=PE•PF．
（2）如图2，若直线MN与⊙O相离．（1）中的其余条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）在图3中，直线MN与⊙O相离，且与⊙O的直径AB垂直，垂足为P．
①请按要求画出图形：画⊙O的割线PCD（PC＜PD），直线BC与MN交于E，直线BD与MN交于F．
②能否仍能得到（1）中的结论？请说明理由．

Answer

（1）本题要证的实际是△ECP与△DFP相似．已知对顶角∠CPE=∠DPF，要想证相似就要再找出一组相等的对应角；
连接BD．根据圆周角定理可得∠BAC=∠CDB，因此根据等角的余角相等，即可得出∠PDF=∠DEP；由此可证出△PDF∽△PEC，根据相似三角形对应线段成比例，即可得出PC•PD=PE•PF．
（2）还成立，证法与（1）大致相同，只不过证三角形相似时，已知的不是对顶角，而是一个公共角．
（3）依然成立，还是通过证△ECP与△DFP相似，来求解．这两个三角形中已知了一个公共角，按（1）的思路，可连接AC，那么∠D=∠A，而∠A和∠PEB是一组对顶角的余角，因此∠A=∠PEB=∠D，由此可证得两三角形相似，即可证得（1）的结论．
（1）证明：连接BD
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=90°．
∴∠ADC+∠BDC=90°．
∵MN⊥AB，
∴∠AEP+∠BAC=90°．
∵∠BAC=∠BDC，
∴∠ADC=∠AEP．
∵∠DPF=∠EPC，
∴△PDF∽△PEC．
∴
即PC•PD=PE•PF．

（2）【解析】
结论仍然成立．
证明：连接BD．
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=90°．
∴∠ABD+∠BAD=90°．
∵∠ACD=∠PCE，∠ABD=∠ACD，
∴∠PCE+∠BAD=90°．
∵MN⊥AB，
∴∠PFA+∠BAD=90°．
∴∠PCE=∠PFA．
∵∠EPC=∠FPD，
∴△PCE∽△PFD．
∴，
∴PC•PD=PE•PF．

（3）【解析】
结论仍然成立．
证明：连接AC．
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°．
∵∠ABC=∠EBP，
∴∠A+∠EBP=90°．
∵MN⊥AB，
∴∠PEB+∠EBP=90°．
∴∠A=∠PEB．
∵∠A=∠D，
∴∠D=∠PEB．
∵∠DPF=∠EPC，
∴△DPF∽△EPC．
∴．
∴PC•PD=PE•PF．