Question

（2005•天水）如图，己知⊙O_l与⊙O₂外切于点P，A在⊙O_l上，AC切⊙O₂于点C，交⊙O₁于点B，AP的延长线交⊙O₂于点D．
（1）求证：PC平分∠BPD；
（2）求证：PC²=PB•PD；
（3）当⊙O₁、⊙O₂的半径分别为2cm、3cm时，sin∠BAP的值是多少？当⊙O₁、⊙O₂的半径分别为4cm、6cm时，sin∠BAP的值是多少？分析sin∠BAP值的变化，你能发现什么规律？请尝试证明或否定你的猜想．

Answer

（1）由∠ABP=∠AC⊙O2=90°⇒PB∥O2C⇒∠BPC=∠PC⊙O2，O2C=O2P⇒∠O2PC=∠O2CP，∠O2PC=BPC，
（2）求出△PBC∽△PCD即可得．
（3）由图可知sin∠BAP=，则当⊙O1、⊙O2的半径分别为2cm、3cm时，当⊙O1、⊙O2的半径分别为4cm、6cm时，sin∠BAP的值均可求．由此易得sin∠BAP=．
（1）证明：连接CO2、CD，
∵AC是⊙O2的切线，AP是圆O1的直径，
∴∠ABP=∠AC⊙O2=90°，∴PB∥O2C．
∴∠BPC=∠PCO2，
∵O2C=O2P，∴∠O2PC=∠O2CP，
∴∠O2PC=BPC，即PC平分∠BPD．

（2）证明：∵PC平分∠BPD，∠PBC=∠PCD，
∴△PBC∽△PCD．
∴．
∴PC2=PB•PD．

（3）【解析】
当⊙O1与⊙O2的半径分别为2cm、3cm时，sin∠BAP=
当⊙Ol与⊙O2的半径分别为4cm、6cm时，sin∠BAP=．
当⊙Ol与⊙O2的半径之比为定值时，sin∠BAP的值唯一确定，
显然的值唯一确定sin∠BAP的值．
sin∠BAP=．