Question

（2005•黄冈）宏远广告公司要为某企业的一种产品设计商标图案，给出了如下几种初步方案，供继续设计选用（设图中圆的半径均为r）
（1）如图1，分别以线段O₁O₂的两个端点为圆心，以这条线段的长为半径作出两个互相交错的圆的图案，试求两圆相交部分的面积；
（2）如图2，分别以等边△O₁O₂O₃的三个顶点为圆心，以其边长为半径，作出三个两两相交的相同的圆，这时，这三个圆相交部分的面积又是多少呢？
（3）如图3，分别以正方形O₁O₂O₃O₄的四个顶点为圆心，以其边长为半径，作出四个相同的圆，这时，这四个圆相交部分的面积又是多少呢？

Answer

（1）设两圆交于A，B两点，连接O1A，O2A，O1B，O2B．
求两圆相交部分的面积，即求S菱形+4S弓的面积．由题意知△O1O2A为正三角形，四个弓形的圆心角为60°，分别求出求S菱形，及弓形的面积即可；
（2）求三个圆相交部分的面积，即求S△O1O2A+3S弓．由题意知△O1O2A为正三角形，三个弓形的圆心角为60°，分别求△O1O2O3的面积，及弓形的面积即可；
（3）要求四个圆相交部分的面积，即求S正方形-4，而=-，由（1）可求．
【解析】
（1）设两圆交于A，B两点，连接O1A，O2A，O1B，O2B．
则S阴=S菱形+4S弓．
∵S菱形=2，△O1O2A为正三角形，其边长为r．
∴=，S弓=-=．
∴S阴=2×+4（）=πr2-r2．

（2）图2阴影部分的面积为：
S阴=+3S弓
∵△O1O2O3为正三角形，边长为r，
∴=．
∴S弓=-．
S阴=+3（-）=．

（3）延长O2O1与⊙O1交于点A，⊙O1与⊙O4交于点B．
由（1）知，=（-）．
∵=-=-（-）=+，
则-4=r2-4（+）=（+1-）r2．