Question

（2005•武汉）将两块含30°角且大小相同的直角三角板如图1摆放．

（1）将图1中△A₁B₁C绕点C顺时针旋转45°得图2，点P₁是A₁C与AB的交点，求证：CP₁=AP₁；
（2）将图2中△A₁B₁C绕点C顺时针旋转30°到△A₂B₂C（如图3），点P₂是A₂C与AB的交点．线段CP₁与P₁P₂之间存在一个确定的等量关系，请你写出这个关系式并说明理由；
（3）将图3中线段CP₁绕点C顺时针旋转60°到CP₃（如图4），连接P₃P₂，求证：P₃P₂⊥AB．

Answer

（1）由旋转可知，△P1AC是含有特殊角45°，30°的钝角三角形，作垂线，把问题转化到两个直角三角形求CP1，AP1的关系；
（2）此时，可推出∠1=30°，∠2=45°，△P1P2C是含有特殊角45°，30°的钝角三角形，类似地作垂线，解直角三角形，确定CP1，P1P2的关系；
（3）分析旋转角及图形特征，易证△CP1P2≌△CP3P2，根据角的关系证明垂直．
（1）证明：过点P1作CA的垂线，垂足为D．
易知：△CDP1为等腰直角三角形，
△P1DA是直角三角形，且∠A=30°，
所以CP1=P1D，P1D=AP1，
故CP1=AP1．

（2）【解析】
过点P1作CA2的垂线，垂足为E，
易知：△P1EP2是等腰直角三角形，
（其中∠2=∠A+∠P2CA=45°），
因为△P1CE是直角三角形，且∠1=30°，
所以CP1=2P1E，P1E=P1P2，
故CP1=P1P2．

（3）证明：将图3中线段CP1绕点C顺时针旋转60°到CP3，
易证：△CP1P2≌△CP3P2，于是∠CP3P2=∠CP1P2=105°，
∴∠P1P2P3=360°-105°×2-60°=90°，
故P2P3⊥AB．