Question

（2005•武汉）已知：如图，直线交x轴于O₁，交y轴于O₂，⊙O₂与x轴相切于O点，交直线O₁O₂于P点，以O₁为圆心，O₁P为半径的圆交x轴于A、B两点，PB交⊙O₂于点F，⊙O₁的弦BE=BO，EF的延长线交AB于D，连接PA、PO．
（1）求证：∠APO=∠BPO；
（2）求证：EF是⊙O₂的切线；
（3）EO₁的延长线交⊙O₁于C点，若G为BC上一动点，以O₁G为直径作⊙O₃交O₁C于点M，交O₁B于N．下列结论：①O₁M•O₁N为定值；②线段MN的长度不变．只有一个是正确的，请你判断出正确的结论，并证明正确的结论，以及求出它的值．

Answer

（1）可通过度数来求两角相等．连接O2F，那么∠O2PF=∠O2FP=∠OBP，因此O2F∥AB，这样可得出圆O2的圆心角∠OO2F=90°．因此∠OPF=45°，那么∠APO=90°-45°=45°，因此两角相等．
（2）由于（1）中得出了O2F∥AB，因此只要证得DE⊥AB，就能得出DE⊥O2F，也就得出了DE是圆O2的切线的结论，那么关键是证明DE⊥AB．可通过垂径定理来求．延长ED交⊙O1于点H，那么就要求出DE=DH或BE=BH，那么就要先求出∠BEH=∠BHE．连接PE，那么∠BHE=∠EPB，那么证∠EPB=∠DEB即可．可通过相似三角形BEF和BPE来求得，这两个三角形中，已知了一个公共角，我们再看夹这个角的两组对边是否成比例．由于BO2=BF•BP，而BO=BE，因此BE2=BF•BP，由此可得出两三角形相似，进而可根据前面分析的步骤得出本题的结论．
（3）MN的长度不变．这是因为点G是BC上的一个动点，但的O1C长度是不变的，它等于⊙的半径8，另外∠BO1C的大小也是始终不变的，因为所有的⊙O3都是等圆，故弧MGN也都是相等的，故弦MN都是相等的，求MN的长，可通过构建全等三角形来求解，过N作⊙O3的直径NK，连接MK，那么三角形NKM和EDO1全等，那么只要求出DE的长即可，根据直线的解析式，可得出O1，O2的坐标，也就求出了OO1，OO2的值，也就能得出圆O1的半径的长，进而可求出AD，BD的长然后根据DE2=AD•DB即可得出MN的值．
【解析】
（1）连接O2F．
∵O2P=O2F，O1P=O1B，
∴∠O2PF=∠O2FP，∠O1PB=∠O1BP，
∴∠O2FP=∠O1BP．
∴O2F∥O1B，
得∠OO2F=90°，
∴∠OPB=∠OO2F=45°．
又∵AB为直径，
∴∠APB=90°，
∴∠APO=∠BPO=45°．

（2）延长ED交⊙O1于点H，连接PE．
∵BO为切线，
∴BO2=BF•BP．
又∵BE=BO，
∴BE2=BF•BP．
而∠PBE=∠EBF，
∴△PBE∽△EBF，
∴∠BEF=∠BPE，
∴BE=BH，有AB⊥ED．
又由（1）知O2F∥O1B，
∴O2F⊥DE，
∴EF为⊙O2的切线．

（3）MN的长度不变．
过N作⊙O3的直径NK，连接MK．则∠K=∠MO1N=∠EO1D，
且∠NMK=∠EDO1=90°，
又∵NK=O1E，
∴△NKM≌△EDO1，
∴MN=ED．
而OO1=4，OO2=3，
∴O1O2=5，
∴O1A=8．即AB=16，
∵EF与圆O2相切，
∴O2F⊥ED，
则四边形OO2FD为矩形，
∴O2F=OD，又圆O2的半径O2F=3，
∴OD=3，
∴AD=7，BD=9．
ED2=AD•BD，
∴ED=3．
故MN的长度不会发生变化，其长度为．