Question

（2005•湘潭）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，P为BC上一点．
（1）若∠APD=90°，找出图中两个相似的三角形，并加以证明；
（2）若AB=9，DC=4，P为BC的中点，∠APD=90°，求BC的长；
（3）在（2）的条件下，试探求以AD为直径的圆与BC所在直线的位置关系，并予以证明．

Answer

（1）应该是三角形DCP和ABP，可根据等角的余角相等和一组直角来证明．
（2）根据（1）的相似三角形，可得出关于CP，PB，DC，AB的比例关系，由于，BP=PC，可求出BP的长，也就求出了BC的长．
（3）可连接圆心和P点，证明圆心到P的线段等于半径的长并且与BC垂直．由于直角三角形的外接圆的圆心就是斜边的中点，因此OP等于斜边的一半也就是半径的长，OP就是直角梯形ABCD的中位线，那么根据平行即可得出垂直．
【解析】
（1）△ABP∽△PCD．
证明：∵∠APD=90°，
∴∠DPC+∠APB=90°．
∵∠DPC+∠CDP=90°，
∴∠CDP=∠APB．
∵∠C=∠B=90°，
∴△ABP∽△PCD．

（2）∵△ABP∽△PCD，
∴CD：PC=BP：AB．
CD•AB=BP•CP=BP2=9×4=36，
∴BP=PC=6，BC=12．

（3）过D作DE⊥AB于E，
根据勾股定理AD=13．
设AD中点O，连接OP，
∴OP是梯形ABCD的中位线．
∴OP⊥BC．
且0P=（CD+AB）=6.5=AO．
∴以底边AD为直径的圆与线段BC所在的直线相切．