Question

（2005•荆州）如图i，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为劣弧上的一动点，P在CB的延长线上，且有∠BAP=∠BDA．
（1）求证：AP是半圆O的切线；
（2）当其它条件不变时，问添加一个什么条件后，有BD²=BE•BC成立？说明理由；
（3）如图ii，在满足（2）问的前提下，若OD⊥BC与H，BE=2，EC=4，连接PD，请探究四边形ABDO是什么特殊的四边形，并求tan∠DPC的值．

Answer

（1）证∠PAC=90°即可；
（2）使BD2=BE•BC成立，即要证△BDE∽△BDC，应有∠D=∠BCD，则应该添加弧BD=弧AB；
（3）证得AB与OD平行且相等，就有四边形ABDO是平行四边形，又AO=OD，有四边形ABDO是菱形，利用锐角三角函数的概念和直角三角形的性质求得PB和PH值即可．
（1）证明：∵∠D与∠C对同一弧，
∴∠D=∠C．
∵AC为直径，
∴∠ABC=90°．
∴∠C+∠BAC=90°．
∵∠BAP=∠BDA，
∴∠PAB+∠BAC=90°．
即∠PAC=90°．
故AP是圆的切线．

（2）【解析】
添加弧BD=弧AB．
∵弧AB=弧BD，
∴∠D=∠BCD．
∵∠DBE=∠DBC，
∴△BDE∽△BDC．
∴BD：BC=BE：BD．
即BD2=BE•BC．

（3）【解析】
∵AC是半圆的直径，OD⊥BC，
∴∠ABC=∠OHC=90°，OD∥AB．
∵OD⊥BC，
∴点D是弧BC的中点．
∴AD是∠BAC的平分线．
∴AB：BE=AC：CE．
∴AB：AB=BE：CE=2：4=1：2．
∴AC=2AB．
∵AC=2AO=2OD，
∴AB=OD．
即AB与OD平行且相等，
∴四边形ABDO是平行四边形．
∵AO=OD，
∴四边形ABDO是菱形．
∵sinC=AB：AC=1：2，
∴∠C=30°，OD=AB，AB=2，AC=4，AP=ACtan30°=4．
∵点O，H分别是AC，BC的中点，
∴OH=AB=，DH=OD-OH=．
∵PA是切线，PBC是割线，
∴PA2=PB•PC=PB（PB+BC）．
∴PB=2．
∴PH=PB+BH=5．
∴tan∠DPC=DH：PH=．