Question

（2005•眉山）已知：如图，⊙O₁与⊙O₂外切于M点，AF是两圆的外公切线，A、B是切点，DF经过O₁、O₂，分别交⊙O₁于D、⊙O₂于E，AC是⊙O₁的直径，BC经过M点，连接AD．
（1）求证：AD∥BC；
（2）求证：MF²=AF•BF；
（3）如果⊙O₁的直径长为8，tan∠ACB=，求⊙O₂的直径长．

Answer

（1）根据同弧的圆周角相等，先证∠ADM=∠ACB，再证△O1AD为等腰三角形，根据等量代换可证∠DAC=∠ACB，即可证得．
（2）要证结论，必先证△AMF∽△MBF，根据切线定理，即可证得∠ADO1=∠MAB，又在第1问的基础上进行等量代换，就可证得AAA．
（3）由切割线定理和勾股定理多次结合使用，即可求得．
（1）证明：∵∠DO1A=∠CO1M，O1A=O1D=O1C=O1M
∴∠ADO1=∠O1MC=∠DAO1=∠O1CM（1分）
∴DA∥CM（2分）

（2）证明：连接AM，（3分）
∵∠BME=∠O1MC
又∵∠O1MC=∠ADO1∴∠BME=∠ADO1
又∵AB切⊙O1于A
∴∠ADO1=∠MAB
∴∠MAB=∠BME∠F=∠F
∴△MBF∽△AMF（4分）
∴
即：MF2=AF•BF（5分）

（3）【解析】
在Rt△ACB中，
∵tan∠ACB=
又∵AC=8
∴AB=6（6分）
∵BC==10
∵AB2=BM•BC
∴62=BM×10
∴BM=3.6（7分）
又∵∠ACB=∠BME
∴tan∠BME=
∴BE=2.7（8分）
∴ME==4.5（9分）．