(2005•嘉兴)某校研究性学习小组在研究相似图形时,发现相似三角形的定义、判定及其性质,可以拓展到扇形的相似中去.例如,可以定义:“圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫做相似扇形”;相似扇形有性质:弧长比等于半径比、面积比等于半径比的平方….请你协助他们探索这个问题.
(1)写出判定扇形相似的一种方法:若______,则两个扇形相似;
(2)有两个圆心角相等的扇形,其中一个半径为a、弧长为m,另一个半径为2a,则它的弧长为______;
(3)如图1是一完全打开的纸扇,外侧两竹条AB和AC的夹角为120°,AB为30cm,现要做一个和它形状相同、面积是它一半的纸扇(如图2),求新做纸扇(扇形)的圆心角和半径.
考点分析:
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(2005•黄石)已知:⊙O
1与⊙O
2相交于A、B两点,⊙O
1的切线AC交⊙O
2于点C.直线EF过点B交⊙O
1于点E,交⊙O
2于点F.
(1)若直线EF交弦AC于点K时(如图1).求证:AE∥CF;
(2)若直线EF交弦AC的延长线于点时(如图2).求证:DA•DF=DC•DE;
(3)若直线EF交弦AC的反向延长线于点(在图3自作),试判断(1)、(2)中的结论是否成立并证明你的正确判断.
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(2005•仙桃)已知:如图,BD是⊙O的直径,过圆上一点A作⊙O的切线交DB的延长线于P,过B点作BC∥PA交⊙O于C,连接AB、AC.
(1)求证:AB=AC;
(2)若PA=10,PB=5,求⊙O的半径和AC的长.
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(2005•眉山)已知:如图,⊙O
1与⊙O
2外切于M点,AF是两圆的外公切线,A、B是切点,DF经过O
1、O
2,分别交⊙O
1于D、⊙O
2于E,AC是⊙O
1的直径,BC经过M点,连接AD.
(1)求证:AD∥BC;
(2)求证:MF
2=AF•BF;
(3)如果⊙O
1的直径长为8,tan∠ACB=
,求⊙O
2的直径长.
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(2005•中原区)已知:如图,AB是⊙O
1与⊙O
2的公共弦,过B点的直线CD分别交⊙O
1于C点,交⊙O
2于D点,∠BAD的平分线AM交⊙O
1于E点,交直线CD于F点,交⊙O
2于M点.
(1)连接DM、CE,请在图中(不添加别的“点”和“线”)找出与△DFM相似的所有三角形,并选择其中一个三角形,证明它与△DFM相似;
(2)设CD=12,CB=5,DF=4,AF=3FM,求EF的长.
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(2005•常德)如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,⊙O的割线PDE垂直AB于点F,交BC于点G,连接PC,∠BAC=∠BCP,求解下列问题:
(1)求证:CP是⊙O的切线.
(2)当∠ABC=30°,BG=
,CG=
时,求以PD、PE的长为两根的一元二次方程.
(3)若(1)的条件不变,当点C在劣弧AD上运动时,应再具备什么条件可使结论BG
2=BF•BO成立?试写出你的猜想,并说明理由.
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