Question

（2005•桂林）已知∠MON=90°，等边三角形ABC的一个顶点A是射线OM上的一定点，顶点B与点O重合，顶点C在∠MON内部．
（1）当顶点B在射线ON上移动到B₁时，连接AB₁，请在∠MON内部作出以AB₁为一边的等边三角形AB₁C₁（保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）设AB₁与OC交于点Q，AC的延长线与B₁C₁交于点D．求证：△ACQ∽△AB₁D；
（3）连接CC₁，试猜想∠ACC₁为多少度？并证明你的猜想．

Answer

（1）分别以A、B1为圆心，AB1为半径，作弧在∠MON内部交于C1；
（2）两三角形有一公共角，且∠ACQ=∠AB1D=60°，即可证明△ACQ∽△AB1D；
（3）猜测∠ACC1=90°，证明△AOB1≌△ACC1最后根据全等三角形的对应角相等即可求出．
【解析】
（1）作图如图．

（2）∵∠CAQ=∠B1AD，∠ACQ=∠AB1D=60°，
∴△ACQ∽△AB1D（AA）．

（3）猜测∠ACC1=90°．
∵OA=AC，∠OAB1=∠CAC1=60°-∠CAQ，AB1=AC1，
∴△AOB1≌△ACC1（SAS），
∴∠ACC1=∠AOB1=90°．
故∠ACC1为90度．