Question

（2005•四川）如图，△ABC内接于⊙O，直径CD⊥AB，垂足为E，弦BF交CD于点M，交AC于点N，且BF=AC，连接AD、AM．
求证：（1）△ACM≌△BCM；
（2）AD•BE=DE•BC；
（3）BM²=MN•MF．

Answer

（1）要证明△ACM≌△BCM，只要证明∠ACM=∠BCM就可以；
（2）要证明AD•BE=DE•BC，只要证明△ADE∽△CBE即可；
（3）要证明BM2=MN•MF，主要求证△AMF∽△NMA即可．
证明：（1）∵直径CD⊥AB，
∴AC=BC．
∴∠ACM=∠BCM．
∴△ACM≌△BCM．（4分）

（2）∵∠DAB=∠ECB∠ADC=∠EBC，
∴△ADE∽△CBE．
∴=．
∴AD•BE=DE•BC．

（3）连接AF，
∵BF=AC，
∴．
∴．
∴∠F=∠FBC．
又∵∠CAM=∠CBM，
∴∠F=∠MAN．
∵∠AMF=∠NMA，
∴△AMF∽△NMA．
∴．
∴AM2=MN•MF．（9分）
又∴BM=AM．
∴BM2=MN•MF．（10分）