（2004•杭州）在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，由D分别作DE⊥AB...

（2004•杭州）在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，由D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．设DE=a，DF=b，且实数a，b满足9a²-24ab+16b²=0，并有2^a2b=256⁶，∠A使得方程 manfen5.com 满分网

x²-x•sinA+ manfen5.com 满分网

sinA-

=0有两个相等的实数根．
（1）试求实数a，b的值；
（2）试求线段BC的长．

（1）由题意可知：2a2b=2566，则2a2b=248，则a2b=48．化简9a2-24ab+16b2=0得：（3a-4b）2=0，则3a-4b=0，即3a=4b，则根据，可求得a与b的值；（2）要求BC的长需求出BD和CD的长，知BD、CD分别是直角三角形BDE和直角三角形CDF中的斜边．又知在△ABC中，AB=AC，则∠B=∠C，则根据三角函数只要知道∠B或∠C的读数即可，要求∠B或∠C的读数需求的∠A的读数，根据判别式可以求得∠A的读数．【解析】（1）由条件有，解得；（2）又由关于x的方程的判别式△=sin2A-sinA+=（sinA-）2=0，则sinA=，而∠A为三角形的一个内角，所以∠A1=60°或∠A2=120° 2分当∠A=60°时，△ABC为正三角形，∠B=∠C=60° 于是分别在Rt△BDE和Rt△CDF中有BD=，CD= 所以BC=BD+DC=．当∠A=120°时，△ABC为等腰三角形，∠B=∠C=30° 同上方法可得BC=14． 3分所以线段BC的长应为或14．

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考点分析：

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（1）求m、n的值．
（2）若∠ACB的角平分线交x轴于D，求直线CD的解析式．
（3）在（2）的条件下，直线CD上是否存在点M，过M点作BC的平行线，交y轴于N，使以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

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（2）若设CP=x，BE=y，试写出y关于自变量x的函数关系式；
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（1）用这两部分纸片除了可以拼成图乙中的Rt△BCE外，还可以拼成一些四边形．请你试一试，把拼好的四边形分别画在图丙、图丁的虚框内；
（2）若利用这两部分纸片拼成的Rt△BCE是等腰直角三角形，设原矩形纸片中的边AB和BC的长分别为a厘米、b厘米，且a、b恰好是关于x的方程x²-（m-1）x+m+1=0的两个实数根，试求出原矩形纸片的面积．
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（2004•万州区）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连接DE．
（1）DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，说明理由；
（2）如果AD，AB的长是方程x²-10x+24=0的两个根，试求直角边BC的长；
（3）试在（1）（2）的基础上，提出一个有价值的问题（不必解答）．

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（1）求OA、OC的长；
（2）求证：DF为⊙O′的切线；
（3）小明在解答本题时，发现△AOE是等腰三角形．由此，他断定：“直线BC上一定存在除点E以外的点P，使△AOP也是等腰三角形，且点P一定在⊙O′外”．你同意他的看法吗？请充分说明理由．

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试题属性

题型：解答题
难度：中等