Question

（2004•衢州）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，3）B（-2，0），C（m，0），其中m＞0．以OB，OC为直径的圆分别交AB于点E，交AC于点F，连接EF．
（1）求证：△AFE∽△ABC；
（2）是否存在m的值，使得△AEF是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；
（3）观察当点C在x轴上移动时，点F移动变化的情况．试求点C₁（，0）移动到点C₂（3，0）点F移动的行程．

Answer

（1）利用切线长定理，得到相应线段成比例，再加上公共角相等，可得到两三角形相似；
（2）按边相等的不同情况讨论；
（3）按CO为直径，则∠OFC=90°，可得到∠AFO=90°，并且OA为定值，即可得到点F移动的行程为以OA的直径上的一段弧长．
（1）证明：∵AO是两圆内的公切线，
∴AO2=AE•AB=AF•AC，
∴=
又∵∠FAE=∠BAC
∴△AFE∽△ABC；

（2）【解析】
∵△AFE∽△ABC，
∴==，
当AF=AE，即AB=AC时，OC=OB
∴m=2，
当AE=FE，即AB=BC时，=2+m，
∴m=-2
当AF=FE，即AC=BC时，9+m2=（2+m）2，
解得m=
∴m的值为2或-2或；

（3）【解析】
∠AFO始终为直角，且OA为定值
∴OA=3，OC1=，
∴tan∠OAC1=，
∴∠OAC1=30°，
同理可得∠OAC2=60°
∴∠C1AC2=30°
∴点F移动的行程为 ．