Question

（2005•玉林）如图，A、B两点的坐标分别是（x₁，0）、（x₂，0），其中x₁、x₂是关于x的方程x²+2x+m-3=0的两根，且x₁＜0＜x₂．
（1）求m的取值范围；
（2）设点C在y轴的正半轴上，∠ACB=90°，∠CAB=30°，求m的值；
（3）在上述条件下，若点D在第二象限，△DAB≌△CBA，求出直线AD的函数解析式．

Answer

（1）利用判别式和两根的积为负数作为不等关系：22-4（m-3）=16-m＞0①，x1x2=m-3＜0，解不等式可得m的取值范围是m＜3；
（2）根据直角三角形的性质可得到AO=3BO，即x1=-3x2，和两根和的关系x1+x2=-2，联立方程组可解得x1=-3，x2=1，代入x1•x2=m-3，得m=0；
（3）过D作DF⊥轴于F，从（2）可得到A、B两点坐标为A（-3，O）、B（1，O），可证明△DAB≌△CBA，所以DF=CO=，AF=B0=1，OF=A0-AF=2，点D的坐标为（-2，），利用待定系数法可解直线AD的函数解析式为y=x+3．
【解析】
（1）由题意，得：
22-4（m-3）=16-m＞0 ①
x1x2=m-3＜0         ②
解①得m＜4
解②得m＜3
所以m的取值范围是m＜3；（3分）

（2）由题意可求得∠OCB=∠CAB=30°，
所以BC=2BO，AB=2BC=4BO，
所以A0=3BO，（4分）
从而得x1=-3x2③，
又因为x1+x2=-2④，
联合③、④解得x1=-3，x2=1，（5分）
代入x1•x2=m-3，得m=O；（6分）

（3）过D作DF⊥轴于F，
从（2）可得到A、B两点坐标为A（-3，O）、B（1，O）
∴BC=2，AB=4，OC=
∵△DAB≌△CBA
∴DF=CO=，AF=B0=1，OF=A0-AF=2
∴点D的坐标为（-2，）
∴直线AD的函数解析式为y=x+3．