Question

（2004•十堰）在平面直角坐标系xoy中，已知A（4，0）、B（0，3），P是线段AB上一动点（与点A、B不重合），Q是线段OA上一动点（与点O、A不重合），C为OQ的中点．
（1）求直线AB的解析式：
（2）过点C作AB的垂线，垂足为D，设OC=x，CD=d，写出d与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（3）当OQ=3时，以OQ为直径作圆C，试判断直线AB与圆C的位置关系；
（4）当PQ与x轴垂直时△OPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段OQ的长的取值范围：若不可能，请说明理由．

Answer

（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将A（4，0），B（0，3）的坐标代入利用待定系数法求得，y=-x+3；
（2）先证明△ACD∽△ABO，利用其成比例线段可求得d=-x+（0＜x＜4）；
（3）当OQ=3时，圆C的半径为，即x=此时圆心C到直线AB的距离d=，所以d=x，即直线AB与圆C相切；
（4）不仿设圆C与直线AB的切点为M，当PQ不与X轴垂直时，要使△OPQ为直角三角形，须使∠OPQ=90°；
当OQ＜3时，圆C与直线相离，∠OPQ＜90°，
当OQ=3时，圆c与直线相切，
P点与M点重合．∠OPQ=90°，
当3＜OQ＜4时，圆c与线段AB有两个交点满足题设条件．所以当3≤OQ＜4时，△OPQ可为直角三角形．
【解析】
（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），（1分）
将A（4，0），B（0，3）的坐标代入有：⇒，
∴y=-x+3；（2分）

（2）△ACD∽△ABO
∴
∴d=，
即：d=-x+（0＜x＜4）；（5分）

（3）当OQ=3时，圆C的半径为（2分），即x=，（3分）
此时圆心C到直线AB的距离d=，
∴d=x，即直线AB与圆C相切；（8分）

（4）不妨设圆C与直线AB的切点为M，当PQ不与X轴垂直时，要使△OPQ为直角三角形，须使∠OPQ=90°，（9分）
当OQ＜3时，圆C与直线相离，∠OPQ＜90°，（10分）
当OQ=3时，圆c与直线相切，P点与M点重合．∠OPQ=90°，（11分）
当3＜OQ＜4时，圆c与线段AB有两个交点满足题设条件．
∴当3≤OQ＜4时，△OPQ可为直角三角形．（12分）