Question

（2004•沈阳）如图，直线l：y=x+与x轴、y轴分别交于点B、C，以点A（1，0）为圆心，以AB的长为半径作⊙A，分别交x轴、y轴正半轴于点D、E，直线l与⊙A交于点F，分别过点B、F作⊙A的切线交于点M．
（1）直接写出点B、C的坐标；
（2）求直线MF的解析式；
（3）若点P是上任意一点（不与B、F重合）．连接BP、FP．过点M作MN∥PF，交直线l于点N．设PB=a，MN=b，求b与a的函数关系式，并写出自变量a的取值范围；
（4）若将（3）中的条件点P是上任意一点，改为点P是⊙A上任意一点，其它条件不变．当点P在⊙A上的什么位置时，△BMN为直角三角形，并写出此时点N的坐标．（第（4）问直接写出结果，不要求证明或计算过程）

Answer

（1）分别令x=0，y=0即可求出B、C的坐标；
（2）可作AH⊥BF于H，FG⊥BD于G，根据tan∠CBO求出∠CBO=30°，而圆的半径AB=2，所以HA=AB=1，BH=，利用垂径定理可求BF=2，所以FG=BF=BC=3OG=2，所以F（2，），又因∠MBF=60°，BM=MF，可知MB=MF=BF=2，M（-1，2）；再设直线MF的解析式为y=kx+b，利用待定系数法即可求出直线的解析式；
（3）因为MN∥PF，所以∠NMF=∠PFM，又因∠PFM=∠PBF，所以∠PBF=∠FMN，进而可证△PBF∽△FMN，所以，代入相关数据，即可求出a、b的关系式，且0＜a＜2；
（4）因为当点P与点E或与点D重合时，△BMN为直角三角形，所以此时点N的坐为（5，2），（）．
【解析】
（1）B（-1，0），C（0，）；

（2）作AH⊥BF于H，FG⊥BD于G，
tan∠CBO==，
∴∠CBO=30°
∴HA=AB=1，
∴BH=，BF=2BH=2，
∴FG=BF=，BC=3OG=2，
∴F（2，），
∵∠MBF=60°，BM=MF，
∴MB=MF=BF=2，
∴M（-1，2），
设直线MF的解析式为y=kx+b，
∴，
∴，
∴y=-x+y；

（3）∵MN∥PF，
∴∠NMF=∠PFM，
∵∠PFM=∠PBF，
∴∠PBF=∠FMN，
∵∠MNF=∠BFP，
∴△PBF∽△FMN，
∴，
∴，
∴ab=12，
∴b=，
0＜a＜2；

（4）当点P与点E或与点D重合时，△BMN为直角三角形，
此时点N的坐为（5，2），（）．