Question

（2004•深圳）直线y=-x+m与直线y=x+2相交于y轴上的点C，与x轴分别交于点A、B．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）经过上述A、B、C三点作⊙E，求∠ABC的度数，点E的坐标和⊙E的半径；
（3）若点P是第一象限内的一动点，且点P与圆心E在直线AC的同一侧，直线PA、PC分别交⊙E于点M、N，设∠APC=θ，试求点M、N的距离．（可用含θ的三角函数式表示）

Answer

（1）直线y=x+2与y轴的交点可以求出，把这点的坐标就可以求出直线y=-x+m的解析式，两个函数与x轴的交点就可以求出；
（2）根据三角函数可以求出角的度数．根据OC、OA、OB的长度根据三角函数可以根据三角函数求出角的度数；
（3）根据正弦定理就可以解决．
【解析】
（1）直线y=x+2中令x=0，
解得y=2，因而C点的坐标是（0，2），
把（0，2）代入直线y=-x+m，
解得m=2，
∴解析式是y=-x+2，
令y=0，解得x=2，则A点的坐标是（2，0），在y=x+2中令y=0，
解得x=2则B的坐标是（2，0）；

（2）根据A、B、C的坐标得到OC=2，OA=2，OB=2，根据三角函数得到∠ABC=30°．
连接AE，CE，则∠AEC=60°，
∴△ACE是等边三角形，边长是2，
因而E的坐标是（，+1），半径是2；

（3）如图所示：MN为⊙E中任一弦，它对的圆周角为∠B，当AM为直径，
则∠ANM为直角，则sinB=sinA=
即MN=AM•sinA①（其实就是正弦定理），这是本题的解题的理论基础．
（I）当点P在⊙E外时，如图连接AN，
则∠MAN=∠ANC-∠P=∠ABC-∠P=30°-θ
由①得：MN=4sin（30°-θ）；
（II）当P在⊙E内时同理可得：MN=4sin（θ-30°）其它情况研究方法相同，
（III）当P在⊙E上时，MN=0．