Question

（2004•锦州）如图，点P是x轴上一点，以P为圆心的圆分别与x轴、y轴交于A、B、C、D四点，已知A（-3，0）、B（1，0），过点C作⊙P的切线交x轴于点E．
（1）求直线CE的解析式；
（2）若点F是线段CE上一动点，点F的横坐标为m，问m在什么范围时，直线FB与⊙P相交？
（3）若直线FB与⊙P的另一个交点为N，当点N是的中点时，求点F的坐标；
（4）在（3）的条件下，CN交x轴于点M，求CM•CN的值．

Answer

（1）连PC，利用OC2=OA•OB，得OC=，得C的坐标，利用CE是⊙P的切线，求E的坐标，
设直线CE的解析式为y=kx+b，将C、E两点坐标代入解析式，可得直线CE的解析式；
（2）当0≤m≤3且m≠1时，直线FB与⊙P相交；
（3）先求得N（-1，-2）设直线NB的解析式为y=kx+b，把N、B两点坐标代入解析式，
求直线NB的解析式．解两直线表达式组成的方程组，求交点坐标；
（4）连接AC、BC，点N是的中点，易证△AMC∽△NBC．所以，即MC•NC=BC•AC．分别求相关线段的长得解．
【解析】
（1）连PC．
∵A（-3，0），B（1，0），
∴⊙P的直径是4，
∴半径R=2，OP=1．
又∵CD⊥AB，AB是直径，
∴OC2=OA•OB=3×1=3，
∴OC=．
∴C（0，）．                                           （1分）
又∵⊙P的半径是2，OP=1，
∴∠PCO=30°．
又CE是⊙P的切线，
∴PC⊥CE．
∴∠PEC=30°．
∴PE=2PC=4，EO=PE-MP=3．
∴E（3，0）．                                             （2分）
设直线CE的解析式为y=kx+b，将C、E两点坐标代入解析式，
得，解得．
∴直线CE的解析式为y=-x+①；（4分）

（2）∵m=1时，直线FB与⊙P相切，∴m≠1．
∵E（3，0），
∴当0≤m≤3且m≠1时，直线FB与⊙P相交；（6分）

（3）解法一：∵点N是的中点，
∴N（-1，-2）．
设直线NB的解析式为y=kx+b，把N、B两点坐标代入解析式，
得，解得．
∴直线NB的解析式为y=x-1 ②．
由①，②式得，解得．
∴F（，-1）．                                       （10分）
解法二：过点F作FH⊥BE于H，
∵N是的中点，
则∠ABN=∠FBE=45°，
∴∠BFH=45°，∴BH=FH．
由（1）知∠CEP=30°，
∴HE=FH．
∵OE=OB+BH+HE，
∴1+FH+FH=3，FH=-1，
∴OH=OB+BH=1+（-1）=．
∴F（，-1）；

（4）连接AC、BC．
∵点N是的中点，
∴∠NCA=∠CAN，又∠CAB=∠CNB，
∴△AMC∽△NBC．
∴，
∴MC•NC=BC•AC．
∵OA=OE=3，
∴△ACE为等腰三角形．
∴AC=CE=，BC==2．
∴MC•NC=BC•AC=4．                                      （14分）