Question

（2004•丰台区）已知：把矩形AOBC放入直角坐标系xOy中，使OB、OA分别落在x轴、y轴上，点A的坐标为（0，2），连接AB，∠OAB=60°，将△ABC沿AB翻折，使C点落在该坐标平面内的D点处，AD交x轴于点E．
（1）求D点坐标；
（2）求经过点A、D的直线的解析式．

Answer

根据题意，可分两种情况：
第一种情况矩形在第一象限．
（1）根据Rt△ACB≌Rt△ADB，过点D作y轴的垂线，垂足为F，∠OAB=60°，∠BAC=∠BAD=∠DAF=30°，可求DF=AD=3，利用三角函数可求AF=AD•cos30°=6×=3，则OF=AF-OA=3-2=，所以点D的坐标为（3，-）；
（2）设经过点A（0，2）、D（3，-）的直线的解析式为y=kx+b，利用待定系数法可求经过点A、D的直线的解析式为y=-x+2；
第二种情况矩形在第二象限．
（1）由第一种情况，根据对称性得，点D的坐标为（-3，-）；
（2）设经过点A（0，2）、D（3，-）的直线的解析式为y=kx+b，
利用待定系数法可求经过点A、D的直线的解析式为y=x+2．
【解析】
根据题意，可分以下两种情况：
第一种情况矩形在第一象限，如图．
（1）OA=2，∠AOB=90°，∠OAB=60°，
∴OB=OA•tan60°=2•=6．
又Rt△ACB≌Rt△ADB，
∴AC=AD=OB=6．
过点D作y轴的垂线，垂足为F，
∠OAB=60°，
∴∠BAC=∠BAD=∠DAF=30°．
∴DF=AD=3．
AF=AD•cos30°=6×=3，
∴OF=AF-OA=3-2=．
∴点D的坐标为（3，-）．          
                                   （2分）
（2）设经过点A（0，2）、D（3，-）的直线的解析式为y=kx+b，
，
解得．
∴经过点A、D的直线的解析式为y=-x+2．                             （4分）
第二种情况矩形在第二象限，（图略）
（1）由第一种情况，根据对称性得，点D的坐标为（-3，-）．             （5分）
（2）设经过点A（0，2）、D（3，-）的直线的解析式为y=kx+b，
，
解得．
∴经过点A、D的直线的解析式为y=x+2．                               （7分）