Question

（2010•楚雄州）已知：如图，⊙A与y轴交于C、D两点，圆心A的坐标为（1，0），⊙A的半径为，过点C作⊙A的切线交x轴于点B（-4，0）．

（1）求切线BC的解析式；
（2）若点P是第一象限内⊙A上的一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且∠CGP=120°，求点G的坐标；
（3）向左移动⊙A（圆心A始终保持在x轴上），与直线BC交于E、F，在移动过程中是否存在点A，使△AEF是直角三角形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）连接AC，由于BC与⊙A相切，则AC⊥BC，在Rt△ABC中，OC⊥AB，根据射影定理即可求得OC的长，从而得到C点的坐标，进而用待定系数法求出直线BC的解析式．
（2）可设出G点的坐标（设横坐标，利用直线BC的解析式表示纵坐标），连接AP、AG；由于GC、GP都是⊙A的切线，那么∠AGC=∠ABP=60°，在Rt△AGC中，AC的长易求得，根据∠AGC的度数，即可求得AG的长；过G作GH⊥x轴于H，在Rt△GAH中，可根据G点的坐标表示出AH、GH的长，进而由勾股定理求得G点的坐标．
（3）若⊙A与直线交于点E、F，则AE=AF，如果△AEF是直角三角形，则∠EAF必为直角，那么△EAF是以A为顶点的等腰直角三角形，因此可分作两种情况考虑：
①点A在B点右侧时，可过A作直线BC的垂线，设垂足为M，在（2）题已经求得了⊙A的半径，即可得到AM的长，易证得△BAM∽△BCO，通过相似三角形所得比例线段即可求得AB的长，进而可得到OA的长，从而得出A点的坐标；
②点A在B点左侧时，方法同①．
【解析】
（1）如图1所示，连接AC，则AC=，
在Rt△AOC中，AC=，OA=1，则OC=2，
∴点C的坐标为（0，2）；
设切线BC的解析式为y=kx+b，它过点C（0，2），B（-4，0），
则有，解之得；
∴．（4分）

（2）如图1所示，设点G的坐标为（a，c），过点G作GH⊥x轴，垂足为H点，
则OH=a，GH=c=a+2，（5分）
连接AP，AG；
因为AC=AP，AG=AG，所以Rt△ACG≌Rt△APG（HL），
所以∠AGC=×120°=60°，
在Rt△ACG中，∠AGC=60°，AC=，
∴sin60°=，∴AG=；（6分）
在Rt△AGH中，AH=OH-OA=a-1，GH=a+2，
∵AH2+GH2=AG2，
∴（a-1）2+=，
解之得：a1=，a2=-（舍去）；（7分）
∴点G的坐标为（，+2）．（8分）

（3）如图2所示，在移动过程中，存在点A，使△AEF为直角三角形．（9分）
要使△AEF为直角三角形，∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE≠90°，∴只能是∠EAF=90°；
当圆心A在点B的右侧时，过点A作AM⊥BC，垂足为点M，
在Rt△AEF中，AE=AF=，
则EF=，AM=EF=；
在Rt△OBC中，OC=2，OB=4，则BC=2，
∵∠BOC=∠BMA=90°，∠OBC=∠OBM，
∴△BOC∽△BMA，
∴=，
∴AB=，
∴OA=OB-AB=4-，
∴点A的坐标为（-4+，0）；（11分）
当圆心A在点B的左侧时，设圆心为A′，过点A′作A′M′⊥BC于点M′，可得：
△A′M′B≌△AMB，A′B=AB=，
∴OA′=OB+A′B=4+，
∴点A′的坐标为（-4-，0）；
综上所述，点A的坐标为（-4+，0）或（-4-，0）．（13分）