Question

（2004•梅州）如图，线段AB的两个端点都在函数y=（x＞0）的图象上，AC、BD分别垂直OX于点C、D．且CD=2，设线段CD的中点M的坐标为M（a，0）．
（1）用a表示C、D的坐标；
（2）当梯形ACDB的面积为时，求a的值；
（3）如果线段CD上存在点P，使得∠APB=90°，求a的取值范围．

Answer

（1）结合图形易知C（a-1，0），D（a+1，0）；
（2）用a表示A、B纵坐标，即是梯形两个底，根据面积公式得方程求解；
（3）当以AB为直径的圆与X轴有交点时就是存在P满足条件，所以当AB≥梯形中位线长时满足条件．用含a的代数式分别表示上述线段，解不等式求解．
【解析】
（1）∵CD=2，M是CD的中点，∴CM=MD=1，∴OC=a-1，OD=a+1，C（a-1，0），D（a+1，0）；

（2）当x=a-1时，y=，∴A（a-1，），
当x=a+1时，y=，∴B（a+1，），
S梯形ACDB=（+）×2=，
解得a1=2，a2=-（不合题意，舍去），
∴a=2；

（3）AB==，中位线=（），
当AB=中位线时，有（）2+4=（）2，解得a=±2，根据题意a=2，
当AB＞中位线时，a＞2，
∴a的取值范围是a≥2．