Question

（2004•临沂）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1，这条曲线是函数y=的图象在第一限内的一个分支，点P是这条曲线的任意一点，它的坐标是（a，b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN（点M、N为垂足）分别与直线AB相交于点E和F．
（1）求△OEF的面积（a，b的代数式表示）；
（2）△AOF与△BOE是否一定相似？如果一定相似，请证明；如果不一定相似，请说明理由；
（3）当点P在曲线上移动时，△OEF随之变动，指出在△OEF的三个内角中，是否有大小始终保持不变的角？若有，请求出其大小；若没有，请说明理由．

Answer

（1）欲求△OEF的面积，只要求出E、F坐标即可．根据矩形性质、直线AB解析式容易求出；
（2）根据题意易知∠A=∠B，要证△AOF与△BOE相似，只证夹边对应成比例即可；
（3）应用三角形内角和定理及内外角关系可求∠EOF=45°是一定值，即解．
【解析】
（1）根据题意，易知：直线AB的解析式为y=-x+1，
点E的坐标是（a，1-a），点F的坐标是（1-b，b），
当PM、PN与线段AB都相交时，如图1，
∴S△EOF=S△AOB-S△AOE-S△BOF
=
=，
当PM、PN中有一条与AB相交，另一条与BA延长线或AB延长线相交时，如图2和图3，
∴S△EOF=S△FOA+S△AOE=×1×b+×1×（a-1）=，
∴S△EOF=S△FOB+S△BOE=，
即S△EOF=；

（2）△AOF和△BEO一定相似．
∵如图1，OA=OB=1，
∴∠OAF=∠EBO，
∴BE=BA-AE=，
AF=BA-BF=，
∵点P是函数图象上任意一点，
∴，即2ab=1，
∴a×b=1即，AF•BE=OB•OA，
∴，
∴△AOF∽△BEO，
∵对图2，图3同理可证，
∴△AOF∽△BEO；

（3）当点P在曲线上移动时，在△OEF中，∠EOF一定等于45°，
由（2）知，△AOF∽△BEO，
∴∠AFO=∠BOE，
如图1，在△BOF中，∠AFO=∠BOF+∠B，
而∠BOE=∠BOF+∠EOF，
∴∠EOF=∠B=45°，
对图2，图3同理可证，
∴∠EOF=45°．