Question

（2004•郑州）已知：如图，在平面直角坐标系中，半径为的⊙O′与y轴交于A、B两点，与直线OC相切于点C，∠BOC=45°，BC⊥OC，垂足为C．
（1）判断△ABC的形状；
（2）在上取一点D，连接DA、DB、DC，DA交BC于点E．求证：BD•CD=AD•ED；
（3）延长BC交x轴于点G，求经过O、C、G三点的二次函数的解析式．

Answer

（1）由于OC是圆的切线，而BC⊥OC，那么BC必过圆心，也就是说BC为圆O′的直径，那么∠CAB=90°，即三角形BAC是直角三角形，又由∠BOC=45°，那么∠CBO=45°，因此三角形BAC是等腰直角三角形．
（2）本题其实证的是三角形ADC和BDE相似，这两个三角形中，根据圆周角定理可得出∠CAD=∠DBE，根据（1）的结论又能得出弧AC=弧AB，那么可得出∠ADC=∠BDE，由此可得出两三角形相似，也就能得出本题要证得结论．
（3）已知了半径的长，就能求出CA，OA的长，也就知道了C的坐标，知道OA，CA，AB的长也就能求出OB的长，又因为三角形OGB也是个等腰直角三角形因此OG=OB，可得出G的坐标，然后用待定系数法即可得出过O，C，G的二次函数的解析式．
（1）【解析】
∵OC与⊙O'相切
∴O'C⊥OC
又∵BC⊥OC
∴O'在BC上，即BC为⊙O'的直径
∴∠CAB=90°
∴CA⊥BA
∵∠BOC=45°
∴△BOC为等腰直角三角形
∴A为OB的中点，CD=OB=AB
∴△ABC是等腰直角三角形．

（2）证明：∵AC=AB
∴=．
∴∠ADC=∠ADB
又∵∠CAD=∠CBD
∴△ADC∽△BDE
∴，
即BD•CD=AD•ED．

（3）【解析】
在Rt△BOC中
∵⊙O′的半径为
∴BC=4
∵∠BOC=45°
∴OB=•BC=8，CA=OA=AB=OB=4
∵CA∥x轴，
∴C点坐标为（-4，-4）
∴BC=CG
∴AC为△BGO的中位线
∴OG=2AC=8
∴G点坐标为（-8，0）
设过O、C、G三点的二次函数为y=ax2+bx+c，
由已知，函数图象过（0，0），（-4，-4），（-8，0）三点，得
解这个方程组，得
a=，b=2，c=0
因此，所求二次函数是y=x2+2x．