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(2004•扬州)如图,直角坐标系中,已知点A(3,0),B(t,0)(0<t<manfen5.com 满分网),以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点E是直线OC与正方形ABCD的外接圆除点C以外的另一个交点,连接AE与BC相交于点F.
(1)求证:△OBC≌△FBA;
(2)一抛物线经过O、F、A三点,试用t表示该抛物线的解析式;
(3)设题(2)中抛物线的对称轴l与直线AF相交于点G,若G为△AOC的外心,试求出抛物线的解析式;
(4)在题(3)的条件下,问在抛物线上是否存在点P,使该点关于直线AF的对称点在x轴上?若存在,请求出所有这样的点;若不存在,请说明理由.

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(1)这两个三角形中,已知的条件有∠BCE=∠BAE(圆周角定理),一组直角,BC=AB,因此构成了全等三角形的判定条件,因此两三角形全等. (2)本题的关键是求出F的坐标,根据(1)的全等三角形可得出OB=BF=t,由此可得出F的坐标,然后代入抛物线中即可用待定系数法求出抛物线的解析式. (3)易知:正方形的边长为3-t,因此C(t,3-t),可设G的坐标为(1.5,b),根据GO=GC可用t表示出G的纵坐标,然后代入抛物线的直线AF的即解析式中即可求出t的值.即能确定出抛物线的解析式. (4)根据(3)得出的条件,易证得CF:BF=AC:AB=,根据三角形内角平分线判定定理,可得出AF是∠CAB的角平分线,如果存在P点,那么P必为抛物线与直线AC的交点,可联立两个函数的解析式求出交点坐标即可. 【解析】 (1)证明:∵∠BCE=∠BAE,∠FAB=∠OBC=90°,AB=BC ∴△OBC≌△FBA. (2)由(1)易知:OF=OB=t, 因此F(t,t), 设抛物线的解析式为y=ax(x-3), 则有:t=at(t-3),a=, ∴抛物线的解析式为y=x2-x. (3)易知:C(t,3t) 设G点坐标为(,h),由于GC=OG, 则有(-t)2+(h-3+t)2=()2+h2 解得h=. 设直线AF的解析式为y=kx+b, 则有:, 解得, ∴直线AF的解析式为y=x-. 由于直线AF过G点, 则有当x=时, =×-, 解得t=, 由于0<t<, ∴t= ∴抛物线的解析式为y=-x2+x. (4)由(3)知,BF=t==(3-3),CF=3-2t=3-3. ∴= ∴AF是∠CBA的角平分线, ∴若存在P点,则P点必为直线AC与抛物线的交点. 易知:直线AC的解析式为:y=-x+3. 则有, 解得, , ∴存在P点,其坐标为(,).
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考点分析:
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(2)能否判断抛物线y=ax2+bx+1的开口方向?请说明理由;
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(2)求证:b2-4ac>4;
(3)当b=2时,M点与经过A,B,C三点的圆的位置关系如何?证明你的结论.注:y=ax2+bx+c的对称轴为manfen5.com 满分网,顶点为manfen5.com 满分网
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(2)求x的取值范围;
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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