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(2004•徐州)已知抛物线y=(1-m)x2+4x-3开口向下,与x轴交于A(...

(2004•徐州)已知抛物线y=(1-m)x2+4x-3开口向下,与x轴交于A(x1,0)和B(x2,0)两点,其中x1<x2
(1)求m的取值范围;
(2)若x12+x22=10,求抛物线的解析式,并在给出的直角坐标系中画出这条抛物线;
(3)设这条抛物线的顶点为C,延长CA交y轴于点D.在y轴上是否存在点P,使以P、B、O为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.

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(1)本题可从两点入手求解.由于抛物线开口向下,因此二次项系数小于0,抛物线与x轴有两个交点,因此△>0.联立两式即可求出m的取值范围; (2)本题要根据一元二次方程根与系数的关系求解; (3)先根据抛物线的解析式求出A、B、C的坐标,然后根据直线AC的解析式求出D点的坐标,不难得出三角形ABC是个等腰直角三角形,因此∠BCD=90°,因此如果两三角形相似,夹直角的两条直角边应对应成比例,分不同的对应成比例情况进行求解即可. 【解析】 (1) 由①式得:m>1; 由②式得:m< ∴1<m<; (2)依题意有:x1+x2=,x1x2=,又x12+x22=10 ∴(x1+x2)2-2x1x2=10 ∴-=10 化简得:[5(m-1)+8][(m-1)-1]=0 ∴m=-,m=2 由(1)值:m=-应舍去, ∴m=2. ∴抛物线的解析式为y=-x2+4x-3; (3)将抛物线配方得:y=-(x-2)2+1, ∴抛物线顶点坐标为(2,1), 与x轴交点为(1,0)(3,0), 与y轴交点为(0,-3), 可画出抛物线的示意图(如图) ∵A(1,0),B(3,0),C(2,1) ∴△ABC为等腰直角三角形,即∠BCD=90° 又∵直线AC与y轴交于点D ∴D(0,-1), 易得:BC=,CD=2 依题意,设点P(0,y) 若△POB∽△BCD 则或 ∴或 ∴|y|=或|y|=6 ∴y=±或y=±6. ∴当P点坐标为(0,)(0,-)(0,6)(0,-6)时,可使△POB∽△BCD.
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考点分析:
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(1)若抛物线y=-x2-2x+m经过A,B,D三点,求m的值及点D的坐标;
(2)求直线DF的解析式;
(3)是否存在过点G的直线,使它与(1)中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4?若存在,请求出满足条件的直线的解析式;若不存在,请说明理由.
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(1)求证:△OBC≌△FBA;
(2)一抛物线经过O、F、A三点,试用t表示该抛物线的解析式;
(3)设题(2)中抛物线的对称轴l与直线AF相交于点G,若G为△AOC的外心,试求出抛物线的解析式;
(4)在题(3)的条件下,问在抛物线上是否存在点P,使该点关于直线AF的对称点在x轴上?若存在,请求出所有这样的点;若不存在,请说明理由.

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(1)说明点A,C,E在一条直线上;
(2)能否判断抛物线y=ax2+bx+1的开口方向?请说明理由;
(3)设抛物线y=ax2+bx+1与x轴有交点F、G(F在G的左侧),△GAO与△FAO的面积差为3,且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点,这时能确定a、b的值吗?若能,请求出a,b的值;若不能,请确定a、b的取值范围.

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(1)求BD的长度;
(2)求经过A、B两点的直线的解析式;
(3)求经过E、D、O三点的二次函数的解析式;
(4)判断(3)中抛物线的顶点是否在直线AB上.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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