Question

（2004•武汉）已知：二次函数y=ax²-（b-1）x-3a的图象经过点P（4，10），交x轴于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点（x₁＜x₂），交y轴负半轴于C点，且满足3OA=OB．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数的图象上是否存在点M，使锐角∠MCO＞∠ACO？若存在，请你求出M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由．

Answer

（1）根据韦达定理和3OA=OB可得出一个关于a、b的等量关系式，将P点坐标代入抛物线中可得出另一个a、b的关系式，联立两个式子即可求出待定系数的值，也就得出了抛物线的解析式；
（2）如图，取A点关于y轴的对称点，那么∠A′CO=∠ACO，如果设直线A′C与抛物线的交点为N点话，那么如果使∠MCO＞∠A′CO，那么必须满足的条件为M的横坐标在A的横坐标与N的横坐标之间，据此可求出M横坐标的取值范围（M的横坐标不能为0，否则构不成锐角∠MCO）．
【解析】
（1）∵P（4，10）在图象上，
∴16a-4（b-1）-3a=10①；
∵图象交y轴负半轴于C，
∴-3a＜0，
∴a＞0，x1x2==-3＜0，
∴x1＜0，x2＞0，x2=-3x1
x1+x2=x1+（-3x1）=-2x1=-，x1x2=-3x12=-3，
∴x12=1，又x1＜0，
∴x1=-1，
∴x2=3，
∴b-1=2a②，
联立①②解得：a=2，b=5，
∴y=2x2-4x-6；

（2）存在点M，使∠MCO＞∠ACO，A点关于y轴对称点A′（1，0），
设直线A′C为y=kx+b，由于直线A′C过（1，0），（0，-6），则有：
，
解得．
∴y=6x-6，联立抛物线的解析式有：
，
解得，
即直线A′C与抛物线交点为（0，-6），（5，24），
当y=-6时，即2x2-4x-6=-6，
解得：x1=0，x2=2，
∵∠MCO是锐角，
∴符合题意的x的取值范围是-1＜x＜0或2＜x＜5．