Question

（2004•乌鲁木齐）已知抛物线y=-x²+（m-4）x+2m+4与x轴相交于A（x₁，0），B（x₂，0）与y轴交于点C，且x₁=-2x₂（x₁＜x₂），点A关于y轴的对称点为D．
（1）确定A，B，C三点的坐标；
（2）求过B，C，D三点的抛物线的解析式；
（3）若y=3与（2）小题中所求抛物线交于M，N，以MN为一边，抛物线上任一点P（x，y）为顶点作为平行四边形，若平行四边形面积为S，写出S与P点纵坐标y的函数关系式；
（4）当时，（3）小题中平行四边形的面积是否有最大值？若有，请求出；若无，请说明理由．

Answer

（1）抛物线的解析式中，令y=0，可得关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系，可得x1+x2以及x1x2的值，联立x1=-2x2即可求出A、B的坐标，而C点坐标为（0，2m+4），已知了m的值，也就得到了C点的坐标．
（2）由于A、D关于y轴对称，根据点A的坐标即可求出点D的坐标；然后可根据B、C、D的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）易求得抛物线的顶点坐标为（3，-1），M（1，3），N（5，3），此题应分两种情况：
①当-1≤y≤0时，那么点P到直线MN的距离为3+（-y）即3+|y|，而MN的长为4，则平行四边形的面积S=4（3+|y|）；
②当y＞0时，点P到直线MN的距离为|3-y|，解法同①．
（4）首先根据自变量的取值范围确定S、y的关系式，然后根据抛物线的解析式，用x替换掉y，即可得到关于S、x的函数关系式，根据函数的性质即可求出S的最大值．
【解析】
（1）由题意得，
解得m=7或m=2，
当m=7时，x1=-6，x2=3，x1+x2=-3≠3，
故m=7不合题意，舍去；
当m=2时，x1=-4，x2=2；
即：A（-4，0），B（2，0），C（0，8）．

（2）D（4，0）；
设过三点的抛物线为y=ax2+bx+c，
则有，
解得，
抛物线是y=x2-6x+8．

（3）∵抛物线y=x2-6x+8与直线y=3相交，
∴M（1，3），N（5，3），|MN|=4，
而抛物线顶点为（3，-1），
当y＞0时，S=4|y-3|；
当-1≤y≤0时，S=12+4|y|．

（4）使以MN为一边，P（x，y）为顶点，且（）的平行四边形面积最大，只要点P到MN的距离最大，所以满足条件的平行四边形的面积有最大值是16．