Question

（2004•天津）已知一次函数y₁=2x，二次函数y₂=x²+1．
（Ⅰ）根据表中给出的x的值，计算对应的函数值y₁、y₂，并填在表格中：

x	-3	-2	-1		1	2	3
y1=2x
y2=x^2+1

（Ⅱ）观察第（Ⅰ）问表中有关的数据，证明如下结论：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y₁≤y₂均成立；
（Ⅲ）试问，是否存在二次函数y₃=ax²+bx+c，其图象经过点（-5，2），且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y₁≤y₃≤y₂均成立？若存在，求出函数y₃的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）根据表中所给的x的值，代入函数式求值即可；
（Ⅱ）把y2化成完全平方的形式与y1进行比较即可得出结论；
（Ⅲ）由图可知，在实数范围内，对于x的同一个值，三个函数所对应的函数值y1≤y3≤y2均成立，利用c=2-5a，代入（b-2）2-4ac≤0得出a的值，于是可推理出抛物线的解析式．
【解析】
（Ⅰ）
x -3 -2 -1 1 2 3
y1=2x -6 -4 -2 2 4 6
y2=x2+1 10 5 2 1 2 5 10

（Ⅱ）在实数范围内，对于x的同一个值y2=x2+1=（x-1）2+2x，y1=2x，
∵=（x-1）2≥0，
∴y1≤y2；

（Ⅲ）由y1=2x，y2=x2+1得：
y2-y1=x2+1-2x=（x-1）2
即当x=1时，有y1=y2=2．
所以（1，2）点为y1和y2的交点．
因为要满足y1≤y3≤y2恒成立，所以y3图象必过（1，2）点．
又因为y3-y1=ax2+bx+c-2x恒大于等于0，即ax2+（b-2）x+c恒大于等于0，所以二次函数ax2+（b-2）x+c必定开口向上，
即有a＞0且（b-2）2-4ac≤0，
同样有y2-y3=（1-a）x2-bx+（1-c）恒大于0，
有 1-a＞0 且 b2-4（1-a）（1-c）≤0，
又因为函数过（-5，2）和（1，2）两点，所以有
25a-5b+c=2 ①
a+b+c=2 ②
①-②得 b=4a，
将b=4a代入②得：c=2-5a，
代入（b-2）2-4ac≤0得，
（4a-2）2-4a（2-5a）=16a2-16a+4-8a+20a2
=36×a2-24a+4=4（3a-1）2≤0
等式成立时 a=，
将b=4a，c=2-5a 代入b2-4（1-a）（1-c）≤0，
（4a）2-4（1-a）（1-（2-5a））=36×a2-24a+4=4（3a-1）2≤0
满足条件a=
所以y3的解析式为y3=（x2+4a+1）=+x+．