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(2004•山西)已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(-3,6),并与...

(2004•山西)已知二次函数y=manfen5.com 满分网x2+bx+c的图象经过点A(-3,6),并与x轴交于点B(-1,0)和点C,顶点为P.
(1)求这个二次函数的解析式,并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象;
(2)设D为线段OC上的一点,满足∠DPC=∠BAC,求点D的坐标;
(3)在x轴上是否存在一点M,使以M为圆心的圆与AC、PC所在的直线及y轴都相切?如果存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)利用待定系数法求出b,c的值后可求出该函数的解析式; (2)证明△DPC∽△BAC,利用线段比求出各相关线段的值后易求点C的坐标; (3)过M作MH⊥AC,MG⊥PC,推出△SCT是等腰直角三角形,M是△SCT的内切圆圆心,根据直线与圆的关系进行解答. 【解析】 (1)∵二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(-3,6),B(-1,0), 得, 解得. ∴这个二次函数的解析式为: y=x2-x-.(4分) 由解析式可求P(1,-2),C(3,0),(5分) 画出二次函数的图象;(6分) (2)解法一: 易证:∠ACB=∠PCD=45°, 又已知:∠DPC=∠BAC, ∴△DPC∽△BAC,(8分) ∴, 易求AC=6,PC=2,BC=4, ∴DC=, ∴OD=3-, ∴D(,0).(10分) 解法二:过A作AE⊥x轴,垂足为E, 设抛物线的对称轴交x轴于F, 亦可证△AEB∽△PFD,(8分) ∴, 易求:AE=6,EB=2,PF=2, ∴FD=, ∴OD=+1=, ∴D(,0);(10分) (3)存在. ①过M作MH⊥AC,MG⊥PC垂足分别为H、G,设AC交y轴于S,CP的延长线交y轴于T, ∵△SCT是等腰直角三角形,M是△SCT的内切圆圆心, ∴MG=MH=OM,(11分) 又∵MC=OM且OM+MC=OC, ∴OM+OM=3, 得OM=3-3, ∴M(3-3,0)(12分) ②在x轴的负半轴上,存在一点M′, 同理OM′+OC=M′C,OM′+OC=OM′ 得OM′=3+3 ∴M′(14分) 即在x轴上存在满足条件的两个点.
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考点分析:
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(2)请你研究:如果上述框中的条件“A的坐标(1,0)”改为“A的坐标(t,0)(t>0)”,其他条件不变,结论①是否仍成立(请说明理由);
(3)进一步研究:如果上述框中的条件“A的坐标(1,0)”改为“A的坐标(t,0)(t>0)”,又将条件“y=x2”改为“y=ax2(a>0)”,其他条件不变,那么xC、xD与yH有怎样的数值关系?(写出结果并说明理由)

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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