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(2004•衢州)如图,在矩形ABCD中,AB=10cm,BC=20cm.P、Q...

(2004•衢州)如图,在矩形ABCD中,AB=10cm,BC=20cm.P、Q两点同时从A点出发,分别以1cm/秒和2cm/秒的速度沿A⇒B⇒C⇒D⇒A运动,当Q点回到A点时,P、Q两点即停止运动,设点P、Q运动时间为t秒.
(1)当P、Q分别在AB边和BC边上运动时,设以P、B、Q为顶点的三角形面积为s,请写出s关于t的函数解析式及自变量t的取值范围;
(2)在整个运动过程中,t取何值时,PQ与BD垂直?

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(1)当P、Q分别在AB边和BC边上运动时,运动时间t满足5<t<10,△PBQ的米娜及就可以用时间t表示出来,从而得到函数解析式; (2)首先以B为原点建立平面直角坐标系,使BC落在x轴正半轴,BA落在y轴正半轴上,根据条件易求直线BD的解析式中的一次项系数是.两直线互相垂直时,一次项系数一定互为负倒数.因而直线PQ的一次项系数是-2.分两种情况:①点P在AB上,点Q在BC上;②点P在BC上,点Q在AD上.针对每一种情况,都可以将P、Q的坐标用含t的代数式表示出来,代入直线PQ的解析式就可以解出t的值. 【解析】 (1)当P、Q分别在AB边和BC边上运动时,运动时间t满足5<t<10,BQ=2t-10,BP=10-t, 因而以P、B、Q为顶点的三角形面积为s=×(2t-10)(10-t), 即s=-t2+15t-50(5<t<10); (2)以B为原点建立平面直角坐标系,使BC落在x轴正半轴,BA落在y轴正半轴上. ∵D(20,10)在直线BD上,∴直线BD的解析式为y=x. ∵两直线互相垂直时,一次项系数一定互为负倒数, ∴直线PQ的一次项系数是-2, 设直线PQ的解析式为y=-2x+b. 分两种情况:①当点P在AB上,点Q在BC上时, BP=10-t,BQ=2t-10, ∴P(0,10-t),Q(2t-10,0). 把点P、Q的坐标分别代入y=-2x+b,得10-t=b,0=-2(2t-10)+b, 解得t=6,b=4; ②点P在BC上,点Q在AD上时, BP=t-10,AQ=60-2t, ∴P(t-10,0),Q(60-2t,10). 把点P、Q的坐标分别代入y=-2x+b,得0=-2(t-10)+b,10=-2(60-2t)+b, 解得t=25,b=30. 综上所述,t=6或t=25.
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考点分析:
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同学发现两个结论:
①S△CMD:S梯形ABMC=2:3 ②数值相等关系:xC•xD=-yH
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(3)进一步研究:如果上述框中的条件“A的坐标(1,0)”改为“A的坐标(t,0)(t>0)”,又将条件“y=x2”改为“y=ax2(a>0)”,其他条件不变,那么xC、xD与yH有怎样的数值关系?(写出结果并说明理由)

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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